解放军文职招聘考试方程与线性代数-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育

发布时间:2017-11-2219:38:23方程与线性代数直到18世纪,方程与代数学几乎是同义语.18世纪,人们对方程所关注的问题之一是证明每一个一元n次方程有n个根,同时人们在采否任何实系数多项式都能分解成线性因式的乘积,解决这个问题的关键就在于证明:每一个一元n次多项式至少有一个实根或复根,这就是我们今天熟悉的代数学基本定理.欧拉、达朗贝尔、拉格朗日在18世纪70年代都试图证明这个定理,但他们的证明都不完全正确.第一个对代数基本定理做出严格证明的是德国数学家高斯,他的证明是1799年在其博士论文中给出的.其方法不是去计算一个根,而是去证明它的存在.他的证明富有高度创造性,开创了探讨数学中整个存在性问题的新途径,打破了存在的准则就是可构造性的传统观念,对于19世纪数学的发展具有重要意义.在数学中,开始了构造性数学与非构造性数学并驾齐驱的时代.人们对方程感兴趣的另一个原因,是试图求解四次以上的方程.这一时期人们曾把问题集中在求解二项方程xn-1=0上.科茨和棣莫弗用复数证明了:解这个方程相当于把圆周分成n等分.于是人们又称xn-1=0为分圆方程.关于这个方程的有价值的工作是高斯在19世纪作出的.求解一般的四次方程问题引起了欧拉、拉格朗日等人的关注,其中拉格朗日和范德蒙(A.Vandermonde,17351796)作出了杰出的贡献.对于用根式解方程的问题,从1767年起拉格朗日写了一系列论文.他的做法是,看是否有一种普遍的方法,能把任意次数的方程化为次数较低的方程.经过详尽的研究,他发现,对于二次、三次或四次方程,借助于一个低一次的辅助方程便可获得方程之解,但把这种方法用于方程ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0时,辅助方程却是六次的,因此他想大概不能求得四次以上方程的解.随后拉格朗日又换一个角度,转而研究一般方程xn+a1xn-1++an-1x+an=0的根x1,x2,,xn的函数(x1,x2,,xn)的置换对称等性质.作为19世纪数学家的先驱,18世纪许多数学家研究了方程根的性质.设x1,x2,,xn是方程xn+a1xn-1++an-1x+an=0的根.令Sk=x1k+x2k++xnk,牛顿得到了今天称之为牛顿等式的结果:1762年,华林(E.Waring,17341798)证明了,所有关于根的有理对称函数都可以表示为方程系数的有理函数,并得到了:牛顿还得到了方程的根与其判别式D的关系:其中x1,x2,,xn是方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0的根.此外,范德蒙等人也进行了大量的工作.18世纪由方程的研究引入了对方程根x1,x2,,xn所生成的函数的研究,并由此引入了初等对称、置换等一系列新的术语.所有这些工作,都为19世纪代数学的巨大发展做好了充分准备.在1678年以前,莱布尼茨就开始了对线性方程组、行列式的研究,对消元法从理论上进行了探讨.在1693年4月28日致洛必达(G.F.A.LHospital)的信中,他提出了行列式的概念:我引进方程:此外,在两个数码中,前者表示此数所属的方程式,后者代表此数所属的字母(未知数).随后,他给出了一般的运算规则,这种规则就是行列式的运算规则.这样,他创设了采用两个数码的系数记号,相当于现在的aik,即上述方程组中的10,11,12,,31,32为a10,a11,a12,,a31,a32.为矩阵和行列式一般理论的发展提供了方便的工具.沿着莱布尼茨的思路,18世纪人们做了发挥.1729年左右马克劳林提出了用行列式解含有两个、三个和四个未知量的联立线性方程组的解法.1750年,克莱姆(G.Cramer,17041752)在《线性代数分析导言》一书中给出了今天我们熟知的行列式展开的克莱姆法则(公式).1764年,贝祖(E.Bzout,1730(或1739)1783)用行列式理论建立了线性方程组的一般理论,他给出了含n个量的n个齐次线性方程,并且证明了:系数行列式等于零是方程组有非零解的条件.范德蒙第一个系统研究了行列式理论,而不像其他人一样仅仅把行列式作为求解方程组的工具.他给出了用行列式的二阶子式和余子式展开行列式的规则.由于他脱离方程组来研究行列式,因此他被认为是行列式理论的奠基人.1772年,拉普拉斯给出了今天的拉普拉斯定理:假定在n阶行列式D中,取定某k个行(1kn),那么在这k个行中所有k阶子式分别与其代数余子式乘积的和就是D.18世纪数学家们讨论了多元高次方程组,这个问题是由研究高次代数曲线f(x,y)=0,g(x,y)=0的交点数而引起的.1764年,贝祖给出了从f(x,y)=0,g(x,y)=0中消去一个未知量的方法,并于1779年公布于众.贝祖给出了解决这个问题的消元法,并得到了这样的结论:两条代数曲线的交点数是mn,即f(x,y)=0,g(x,y)=0的次数的乘积.18世纪,数学家们还考虑了求解两个多项式f(x)=a0xn+a1xn-1++an=0,有公共解的条件:关于有公共解时系数必须满足的条件称为消去式或结式.牛顿第一个研究了这个问题,他在1707年出版的《普遍的算术》中给出了从两个方程中消去x的法则.欧拉、贝祖后来给出了更一般的方法.在1764~1769年的《数学教程》(Coursdemathmatique)中,贝祖给出了一般的方法:f(x),(x)的结式等于一个行列式,这个行列式由n-1次(或更低次)的多项式gk(x)=(a0xk-1+a1xk-2++ak-1)(x)-(b0xk-1+b1xk-2++bk-1)f(x)(k=1,2,,n)的系数组成.这就是今天熟知的贝祖方法.在整个18世纪,线性代数主要是行列式理论和消元法理论,这两个理论在这个世纪还是很有成就的.由于牛顿、欧拉、贝祖、拉格朗日、拉普拉斯的工作,具体解方程(一元高次方程,多元高次方程组,线性方程组)的方法在18世纪已相当完备了.而整个线性代数则处于萌芽起步阶段.

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