一、同余系
整数a除以整数b，得到正余数为c,c kb(k为自然数)均为a除以b的余数。属同余系。例：-2,1,4,7都属于16 3的余数。
二、同余特性
性质一：余数的和决定和的余数 例：13 4 1，21 4 1，余数的和为2，和为13+21=34，34 4 2，所以说余数的和决定和的余数。
性质二：余数的差决定差的余数 例：15 4 3，22 4 2，余数的差为-1，差为22-15=7，7 4 3(相当于余-1)，所以说余数的差决定差的余数。
性质三：余数的积决定积的余数 例：30 4 2，18 4 2，余数的积为4，积为30 18=540，540 4 0，余数为0，余数的积为4，4 4 0，所以说余数的积决定积的余数，而不是等于。
性质四：余数的幂决定幂的余数 例：53 3=125 3 2，5 3余数为2，余数的幂为23=8，8 3 2，所以余数的幂决定幂的余数。 三、同余特性解不定方程 例1：x+3y=100，x、y皆为整数，则x是多少? A.41 B.42 C.43 D.44
【解析】C。3y能被3整除，100 3 1，根据余数的和决定和的余数得x除以3余数为1，所以选择C。
例题2：7a+8b=111，已知a，b为正整数，且a b，则a-b=? A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】B。8b除以8余0 ,而111 8除以8余7，利用同余特性余数的和决定和的余数， 7a 8余数为7，再利用余数的积决定积的余数，得到a 8余1。正整数范围内第一个 8余数为1的数，而题干要求a大于b，而1是最小的正整数，因此a不能等于1 ,下一个 8余1的数为9，此时b=6，恰好满足a-b都为正整数，且a大于b ,因此a-b等于3 ,结合选项，选择B。 另解：7a 3余a,8b 3余-b，所以(7a+8b) 3余数为a-b，111 3余数为0,同余3，所以选B。
