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发布时间：2017-11-22 19:27:33北宋时期的数学成就一、贾宪的增乘开方法贾宪生活于11世纪，是天算家楚衍的学生．楚衍有两名弟子，一名朱吉，后任太史；另一名便是贾宪，在朝中任左班殿值．贾宪对《九章算术》深有研究，曾著《黄帝九章算经细草》，还著有《释锁》算书，均佚．但两书的部分内容，保存在杨辉《详解九章算法》中．《详解九章算法 纂类》所载的贾宪增乘开方法，是中算史上第一个完整的、可推广到任意次方的开方程序(原载《黄帝九章算经细草》)．例如 令有积一百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？ 此题相当于求方程x3 ＝1860867的正根．按贾宪方法(参见图8．1)：(1)实上商置第一位得数．(2)以上商乘下法置廉，乘廉为方，除实讫．(3)复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(4)其方一、廉二、下三退．(5)再于第一位商数之次，复商第二位得数，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实讫．(6)复以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(7)其方一、廉二、下三退，如前．(8)上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立方一面之数．很明显，求得方根第一位后，求下面每一位的步骤都相同，(3)(4)(5)是求第二位的步骤，(6)(7)(8)是求第三位的步骤，依此类推．如果是开平方，则开方式无廉；如果是开四次方或四次双方以上，则在方和下法间加廉，称一廉、二廉 ，开方步骤与开立方一致．在增乘开方法基础上，贾宪创造了 开方作法本源图 (原载《释锁》，存于杨辉《详解九章算法》)即贾宪三角形(图8．2)，实际是世界上最早的二项式定理系数表．虽然该表到六次方止(末行为(a＋b)6的系数)，但表中数字是有规律的，每个数都是它肩上两数之和，可按此规律向下无限延伸(朱世杰便推广到八次方，即增加两行)．所以它是一般性的．二、刘益的正负开方术刘益是中山(今河北定县)人，生活年代可能比贾宪稍晚．著有《议古根源》，已失传．该书的部分内容保存在杨辉《田亩比类乘除捷法》里．从中可以看出，刘益把增乘开方法推广为正负开方术．贾宪的方程都是xn＝B的特殊形式(其中n不大于4，B为正有理数)，刘益则研究了一般的高次方程，如-5x4＋52x3＋128x2＝4096．在刘益的方程中，未知数系数可正可负，故曰 正负开方术 ．例如要求方程-5x2+228x＝2592的正根，先摆算式如图8．3(1)，然后把方和隅向左移动，方每步移一位，隅每步移二位，本题只须各移一步．开方过程如p241图8．3(开方式下面为相应的演草)．刘益的正负开方术是可以推广到任意次方程的，所以说他的工作奠定了高次方程数值解法的基础．不过，刘益的思想也有局限性，他求解的方程的常数项仅限于正数，这一点同贾宪一样．这种限制，直到李冶时代才取消．三、沈括的数学成就沈括(1030---1094)，北宋科学家，字存中，号梦溪，钱塘(今杭州)人．进士及第后，初任馆阁校勘，后任太子中允，提举司天监．王安石变法期间，沈括曾任 权三司使 (主管财政)、 判军器监 等要职，时常出京察访各地的新政实施情况，积极参与变法运动．沈括一生论著极多，据《宋史 艺文志》所录有22种155卷，流传至今的有5种64卷．其中《梦溪笔谈》(26卷)是沈括晚年定居镇江时，将一生见闻及研究心得以笔记形式写成的著作．书中的科学内容相当丰富，被著名科学史家李约瑟(J．Needham，1900---1995)誉为 中国科学史的里程碑 ．沈括在讨论数学起源时说： 大凡物有定形，形有真数．方圆端斜，定形也；乘除相 ，无所附益，泯然冥会者，真数也． 这就是说，数学来源于客观存在的形和数，形是物体的特有形状而数是从形中抽象出来并能反映形的 真数 ．那么，数是怎样被人认识的呢？沈括认为首先要靠实践： 予占天候景，以至验于仪象，考数下漏，凡十余年，方粗见真数． 但只有实践还不行，沈括说： 耳目能受而不能择，择之者心也． 意思是人们通过感官来接受客观世界的信息，但不能靠感官去辨别，必须依靠思维，才能由此及彼，由表及里，形成对数学的理性认识．这些看法是很精辟的．沈括的主要数学成就有两项---会圆术和隙积术．会圆术所解决的是由弦求弧问题．如图8．4，沈括得到以下公式(1)式显然由勾股定理推出．至于(2)式，可能是在《九章算术》所载弓形面积公式的基础上，凭借以直代曲的极限思想得出的．沈括的会圆术问世后，收到明显的社会效益．著名的《授时历》中，使用此术解决了一个重要的天文问题 太阳的赤道坐标与黄道坐标的变换．所谓隙积，即 积之有隙 者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的垛积，实际是二阶等差级数．设隙积共n层，上底由a b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层(即下底)由c d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式如下：沈括的工作开了研究高阶等差级数的先河．关于此式的由来，后人有各种推测，尚无定论．但有一点是肯定的：这一精确公式不可能从经验中归纳出来，一定是逻辑推理的结果．四、从条段法到天元术方程理论是宋元数学发展的主流．列方程的重要方法---天元术，便产生于北宋，而其渊源则为条段法．条段法亦称演段法，是推导方程的几何方法．刘益《议古根源》通过平面图形的分割拼补寻找等量关系，求得方程各项系数．因推演中常将各量表示成一段段条形面积，故名．北宋数学家蒋周亦用条段法推导方程．蒋周，平阳(今山西临汾)人，生活于11世纪．著有《益古集》，已失传，书中部分内容存于李冶《益古演段》．从书中题目来看，蒋周的方法比刘益更接近天元术，因为他懂得寻找含有所求量的等值多项式，然后把两个多项式连为方程．例如第33题(按《益古演段》顺序)： 今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地七千三百步．只云并内池长阔，少田径五十五步，阔不及长三十五步．问三事(指池长、池阔、圆径)各多少？ (图8．5)令圆径为d，直池长a阔b，圆积S1，3d2－4 7300＝4S． (1)这便得到一个等于4S的多项式，下面再设法得到等于4S的另一多项式．因为d－55＝a＋b，所以(d－55)2＝(a＋b)2=4ab＋(a-b)2＝4S＋352，即 (d-55)2-352＝4S． (2)把两个等于4S的多项式连起来，便得方程3d2-4 7300＝(d-55)2-352．(1)式和(2)式中的4S并非所求，蒋周只是通过它得到两个等值多项式，在建立方程时便把它们消掉了．这种思想是天元术中不可缺少的．但条段法有着明显的局限性．首先，由于没有设未知数的步骤，不是把未知数用统一符号表示出来，再寻找它和已知量的关系，而是在解题过程中去找含有所求量的等式，这便增加了思维的复杂性．其次，条段法只能列出二次方程，因为高于二次的方程很难用面积来表示．数学的发展迫切需要一种简便的、能建立高次方程的一般方法，天元术便应运而生了．天元术是一种列方程的代数方法，因称未知数为天元，故名．从现存古算书分析，洞渊无疑是天元术的先驱者之一．洞渊生活于11世纪，所著算书早已亡佚．但李冶《测圆海镜》中保存了洞渊九容公式，即九种求勾股容圆直径的方法．洞渊的天元术便以这些公式为出发点．《测圆海镜》保存了洞渊的两道算题，即卷十一第十七题和第十八题．这两题所得均为四次方程，不仅次数高于蒋周的方程，更重要的是有了 立天元一 (即设未知数x)的明确步骤．把各种各样的未知数用统一符号表示，让它像已知量一样参与运算，这是数学思想上的突破．在第十七题中，洞渊得到后，便把各项中x的幂提高两次，成为-4x4 -600x3 -22500x2+11681280x+788486400=0．这说明他已懂得用分母中未知数的最高次幂去乘分式方程各项，从而化分式方程为整式方程．在洞渊的方程中，x的幂具有纯代数意义，而不再拘泥于它的几何解释．这正是天元术高于条段法之处，也是方程向高次发展的基础．
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发布时间：2017-11-22 20:27:55中国现代数学的发展中国传统数学在宋元时期达到高峰，以后渐走下坡路．20世纪重登世界数学舞台的中国现代数学，主要是在西方数学影响下进行的．西方数学比较完整地传入中国，当以徐光启(1562 1633)和利玛窦(Mattao Ricci， 1552 1610)翻译出版《几何原本》前六卷为肇始，时在1607年．清朝初年的康熙帝玄烨(1654 1722)，曾相当重视数学，邀请西方传教士进宫讲解几何学、测量术和历法，但只是昙花一现．鸦片战争之后，中国门户洞开，再次大规模吸收西方数学，其主要代表人物是李善兰(1811 1882)．他熟悉中国古代算学，又善于汲取西方数学的思想．1859年，李善兰和英国教士伟烈亚力(Alexander Wylie，1815 1887)合译美国数学家鲁米斯(Elias Loomis， 1811 1889)所著的《代微积拾级》(Elements of AnalyticalGeometry and of the Differenfial and Integral Calculus)，使微积分学思想首次在中国传播，并影响日本．李善兰在组合数学方面很有成就．著称于世的有李善兰恒等式：1866年，北京同文馆增设天文算学馆，聘李善兰为第一位数学教习．由于清廷政治腐败，数学发展十分缓慢．反观日本，则是后来居上．日本在1870年代还向中国学习算学，《代微积拾级》是当时日本所能找到的最好的微积分著作．但到1894年的甲午战争之后，中日数学实力发生逆转． 1898年，中国向日本大量派遣留学生，其中也包括数学方面的留学生．1911年辛亥革命之前，有三位留学国外的数学家最负盛名．第一位是冯祖荀(1880 1940)，浙江杭县人．1904年去日本京都第一高等学校就读，然后升入京都帝国大学研修数学．回国后曾在北京大学长期担任数学系系主任．第二位是秦汾(1887 1971)，江苏嘉定人．1907年和1909年在哈佛大学获学士和硕士学位．回国后写过许多数学教材．担任北京大学理科学长及东南大学校长之后，弃学从政，任过财政部次长等．郑桐荪(1887 1963)在美国康奈尔大学获学士学位(1907)，以后在创建清华大学数学系时颇有贡献．由于1908年美国退回部分庚子赔款，用于青年学生到美国学习．因此，中国最早的数学博士多在美国获得．胡明复(1891 1927)于1917年以论文 具边界条件的线性微积分方程 (Lin-ear Integro-Differential Equations with BoundaryCondition)，在哈佛大学获博士学位，是中国以现代数学研究获博士学位的第一人．他返国后办大同大学，参与《科学》杂志的编辑，很有声望，惜因溺水早逝．1918年，姜立夫(1890 1978)亦在哈佛大学获博士学位，专长几何．他回国后办南开大学，人才辈出，如陈省身、江泽涵、吴大任等，姜立夫是中国现代数学的先驱，曾任中央研究院数学研究所首任所长．本世纪20年代，中国各地的大学纷纷创办数学系．自国外留学回来的数学家担任教授，开始培养中国自己的现代数学人才．其中比较著名的有熊庆来(1893 1969)，1913年赴法国学采矿，后改攻数学．1921年回国后在东南大学、清华大学等校任数学教授，声誉卓著．1931年再度去法国留学，获博士学位(1933)，以研究无穷级整函数与亚纯函数而闻名于世．陈建功(1893 1971)和苏步青(1902一)先后毕业于日本东北帝国大学数学系．他们分别于1930年和1931年回国，在浙江大学担任数学教授．由于锐意进取，培植青年，使浙江大学成为我国南方最重要的数学中心．陈建功以研究三角函数论、单叶函数论及函数逼近论著称．他在1928年发表的《关于具有绝对收敛傅里叶级数的函数类》，指出：有绝对收敛三角级数的函数的充要条件是杨(Young)氏函数，此结果与英国数学大家哈代(G．H．Hardy)和李特尔伍德(J． E． Littlewood)同时得到．这可以标志中国数学研究的论文已能达到国际水平．苏步青以研究射影微分几何而著称于世．他的一系列著作《射影曲线概论》，《一般空间微分几何》、《射影曲面概论》等，在国内外都产生相当影响，曾被称为中国的微分几何学派．1952年，他们从浙江大学转到上海复旦大学，使复旦大学数学系成为中国现代数学的重要基地．1930年前后，清华大学数学系居于中国数学发展的中心地位．系主任是熊庆来，郑桐荪是资深教授．另外两位教授都在1928年毕业于美国芝加哥大学数学系，获博士学位．其中孙光远(1897 1984)专长微分几何，他招收了中国的第一名数学硕士生(陈省身)，杨武之(1898 1975)则专长代数和数论，以研究华林(Waring)问题著称．这时的清华，有两个杰出的青年学者，这就是来自南开大学的陈省身和自学成才的华罗庚．陈身省于1911年生于浙江嘉兴．1926年入南开大学，1930年毕业后转到清华，翌年成为孙光远的研究生，专习微分几何．1934年去汉堡大学，在布拉士开(W．Bla-schke)指导下获博士学位(1936)，旋去巴黎，在嘉当(E．Cartan)处进行访问，得其精华．1937年回国后在西南联大任教．抗日战争时期，受外尔(H．Weyl)之邀到美国普林斯顿高等研究院从事研究，以解决高维的高斯 邦内(Gauss Bonnet)公式，提出后来被称为 陈省身类 的重要不变量，为整体微分几何奠定基础，其影响遍及整个数学．抗日战争结束后返国，任中央研究院数学研究所代理所长，培植青年数学家．1949年去美国．1983年获世界5高数学奖之一的沃尔夫奖(WilfPrize)．华罗庚(1910 1985)是传奇式的数学家．他自学成才，1929年他只是江苏金坛中学的一名职员，却发表了《苏家驹之代数的五次方程解法不能成立之理由》，此文引起清华大学数学教授们的注意，系主任熊庆来遂聘他到清华任数学系的文书，华罗庚最初随杨武之学习数论，在华林问题上很快作出了成果，破例被聘为教员．1936年去英国剑桥大学，接受哈代的指导．抗日战争时期，华罗庚写成《堆垒素数论》，系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德的圆法，维诺格拉多夫(И．М．Виноградов)的三角和估计方法，以及他本人的方法．发表至今已40年，主要结果仍居世界领先地位，仍是一部世界数学名著．战后曾去美国．1950年返回中国，担任中国科学院数学研究所的所长．他在数论，代数，矩阵几何，多复变函数论以及普及数学上的成就，使他成为世界级的著名数学家．他的名字在中国更是家喻户晓，成为 聪敏 、 勤奋 的同义语．三十年代初的清华大学，汇集了许多优秀的青年学者．在数学系先后就读的有柯召(1910 )，许宝騄(1910 1970)，段学复(1914 )，徐贤修(1911 )，以及物理系毕业、研究应用数学的林家翘(1916 )等等，后来均成为中国数学的中坚以及世界著名数学家．许宝騄是中国早期从事数理统计和概率论研究，并达到世界先进水平的一位杰出学者．1938 1945年间，他在多元分析与统计推断方面发表了一系列论文，以出色的矩阵变换技巧，推进了矩阵论在数理统计中的应用，他对高斯 马尔可夫模型中方差的最优估计的研究，是许多研究工作的出发点．50年代以来，为培养新中国的数理统计学者和开展概率统计研究作出许多贡献．林家翘是应用数学家，清华大学毕业后去加拿大，美国留学．从师流体力学大师冯 卡门(von Karman)．1944年，他成功地解决了争论多年的平行平板间的流动稳定性问题，发展了微分方程渐近理论的研究．60年代开始，研究螺旋星系的密度波理论，解释了许多天文现象．北京大学是我国的最高学府．20年代军阀混战时期，因经费严重不足，学术水平不及由美国退回庚款资助的清华大学数学系．进入30年代，以美国退回庚款为基础的中华文化教育基金会也拨款资助北京大学，更由于江泽涵(1902 )在哈佛大学获博士学位后加盟北大，程毓淮(1910 )获德国哥廷根大学博士学位后来北大任教，阵容渐强．学生中有后来成名的樊畿(1916 )，王湘浩(1915 1993)等．三十年代的中国青年数学家还有曾炯之(1897 1943)，他在哥廷根大学跟随杰出的女数学家诺特(E．Noether)研究代数，1933年完成关于 函数域上可除代数 的两个基本定理，后又建立了拟代数封闭域层次论，蜚声中外．抗日战争时期因贫病在西昌去世．周炜良(1911 )为清末民初数学家周达之子，家庭富有，在美国芝加哥大学毕业后，转到德国莱比锡大学，在范 德 瓦尔登(Van der Waerden)指导下研究代数几何，于1936年获博士学位，一系列以他名字命名的 周坐标 周形式 、 周定理 周引理 ，使他享有盛誉．抗日战争胜利后去美国约翰 霍普金斯大学任教，直至退休．1935年，中国数学会在上海成立．公推胡敦复(1886 1978)为首届董事会主席．会上议决出版两种杂志．一种是发表学术论文的《中国数学会学报》，后来发展成今日的《数学学报》，一种是普及性的《数学杂志》，相当于今之《数学通报》．中国数学会的成立，标志中国现代数学已经建立，并将很快走向成熟．最早访问中国的著名数学家是罗素(B．A．W．Russel)，他于1920年8月到达上海，在全国各地讲演数理逻辑，由赵元任做翻译，于次年7月离去．法国数学家班勒卫(P．Painleve)和波莱尔(E．Bovel)也在20年代未以政治家身份访华．1932年，德国几何学家布拉希开(W．Blaschk)到北京大学讲学，陈省身、吴大任等受益很多．1932 1934年间，汉堡大学年轻的拓扑学家斯披涅儿(E．Sperner)也在北京大学讲课．1934年4月，美国著名的常微分方程和动力系统专家伯克霍夫(G.D.Birkhoff)也到过北大．此后来华的是美国哈佛大学教授奥斯古德(W．F．Osgood)，他在北京大学讲授函数论(1932 1934)．控制论创始人，美国数学家维纳(N．Wiener)来清华大学电机系访问，与李郁荣(1904 )合作研究电网络，同时在数学系讲授傅里叶变换理论等．维纳于1936年去挪威奥斯陆参加国际数学家大会，注明他是清华大学的代表．抗日战争开始之后，中国现代数学发展进入一个新时期．一方面是异常清苦的战时生活，与外界隔绝的学术环境；另一方面则是无比高涨的研究热情，硕果累累的科学成就．在西南联合大学(北大、清华、南开)的数学系，姜立夫、杨武之、江泽涵等领导人正值中年，而刚满30岁的年轻教授如华罗庚、陈省身以及许宝騄等，都已达到当时世界的先进水平．例如华罗庚的《堆垒素数论》，陈省身证明高斯 邦内公式，许宝騄发展矩阵论在数理统计的应用，都产生于这一时期．他们培养的学生，如王宪钟、严志达、吴光磊、王浩、钟开莱，日后都成为著名数学家．与此同时，位于贵州湄潭的浙江大学，也由陈建功、苏步青带领，造就出程民德、熊全治、白正国、杨忠道等一代数学学者．如果说，在20年代，中国创办的大学已能培养自己的数学学士，那么在30年代的北大、清华、浙大等名校，已能培养自己的数学硕士，而到抗日战争时期的40年代，从教员的学术水准，开设的课程以及学生的成绩来看，应该说完全能培养自己的数学博士了．从1917年中国人第一次获得数学博士，到实际上具备培养自己的数学博士的水平，前后不过20余年的时间，发展不可谓不快．1944年，中央研究院决定成立数学研究所，由姜立夫任筹备主任．不久，抗日战争胜利，于1946年在上海正式成立数学研究所，由姜立夫任所长．因姜立夫出国考察，遂由陈省身代理所长．陈省身办所的宗旨是培养青年人，首先让他们研修拓扑学，以便迅速达到当时数学发展的前沿．这时在所内工作的研究人员中，有王宪钟、胡世桢、李华宗等已获博士学位的年轻数学家，更有吴文俊、廖山涛、陈国才、杨忠道、叶彦谦、曹锡华、张素诚、孙以丰、路见可、陈杰等刚从大学毕业不久的学生．1949年成立中华人民共和国之后，中国现代数学有了长足的发展．原来已有建树的解析数论、三角级数论、射影微分几何等学科继续发展．在全面学习苏联的50年代，与国民经济发展有密切关系的微分方程、概率论、计算数学等学科获得应有的重视，使整个数学获得全面和均衡地进步．高等学校数学系大规模招生，严谨的教学方式培养出大批训练有素的数学工作者．在这一时期内，作出重要贡献的有吴文俊(1919 )．他于1940年在交通大学毕业，后去法国留学，获博士学位．他在拓扑学方面的主要贡献有关于施蒂费尔 惠特尼(Stiefel-Whit-ney)示性类的吴(文俊)公式，吴(文俊)示性类，以及关于示嵌类的研究．70年代起，吴文俊提出了使数学机械化的纲领，其一个自然的应用是定理的机器证明，这项工作现在正处于急剧发展中．吴文俊的数学机械化思想来源于中国传统数学．因此，吴文俊的工作显示出中国古算法与现代数学的有机结合，具有浓烈的中国特色．50年代以来的一些青年数学家的工作值得注意，如陈景润、王元、潘承洞在数论方面的研究，特别是对哥德巴赫猜想的重大推进．杨乐、张广厚关于亚纯函数值分布论的研究，谷超豪在微分几何与非线性偏微分方程方面的研究，夏道行关于线性算子谱论和无限维空间上调和分析的研究，陆启铿、钟家庆在多复变函数论与微分几何方面的研究，都有国际水平的成果．80年代以来，还有姜伯驹(不动点理论)、张恭庆(临界点理论)、陆家羲(斯坦纳三元素)等人的工作，十分优秀．廖山涛在微分动力系统研究上作出了独特的贡献．中国数学家参加国际数学家大会(International Cong-ress of Mathematics)始自1932年．北京数学物理学会的熊庆来和上海交通大学的许国保作为中国代表参加了那年在苏黎世举行的会议．中山大学的刘俊贤则是参加1936年奥斯陆会议的唯一中国代表(不计算维纳代表清华大学与会)．此后由于代表权问题，中国大陆一直未派人与会．华罗庚、陈景润收到过到大会作报告的邀请．1983年，中国科学院计算数学家冯康被邀在华沙大会上作45分钟的报告，都因代表权问题未能出席．1986年，中国在国际数学家联盟(IMU)的代表权问题得到解决：中国数学会有三票投票权，位于中国台北的数学会有两票投票权．这年在美国加州伯克莱举行的大会上，吴文俊作了45钟报告(关于中国数学史)．1990年在东京举行国际数学家大会，中国有65名代表与会(不包括台北)．80年代以来，中国数学研究发展很快．从原来的中国科学院数学研究所又分立出应用数学研究所和系统科学研究所．由陈省身担任所长的南开数学研究所向全国开放，发挥了独特的作用．北京大学、复旦大学等著名学府也成立了数学研究所．这些研究机构的数学研究成果正在逐渐接近国际水平．到1988年为止，在国外出版的中国数学家的数学著作已有43种．《数学年刊》《数学学报》都相继出版了英文版，在国外的影响日增，1990年收入世界数学家名录的中国学者有927名．先后在中国国内设立的数学最高奖有陈省身奖和华罗庚奖．1990年起，为了支持数学家率先赶上世界先进水平的共同愿望，除了正常的自然科学基金项目之外，又增设了专项的天元数学基金．这一措施也大大促进了数学研究水平的提高．在中国的台湾省，中央研究院的数学研究所是主要的数学研究机构，曾由周鸿经、樊畿等多人主持过．台湾大学集中了许多著名的数学教授．早期有施拱星、许振荣等．台湾学生在美国获博士学位并在美国各大学数学系任教的学者很多，有较大影响的有项武忠、项武义等人．香港地区的数学教育在第二次世界大战之前没有多少力量．战后最有影响的是几何学家黄用诹，他从1948年起任香港大学教授，又担任过教务长和副校长．从香港大学和中文大学培养出一批有世界影响的数学家，其中包括荣获菲尔兹奖的丘成桐，以及肖荫堂、陈绍远等著名数学家．
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发布时间：2017-11-22 19:12:47阿基米德对数学发展的贡献阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)是数学历史上最伟大的数学家之一，近代数学史家贝尔(E．T．Bell，1883---1960)说： 任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德． 阿基米德的名字在他同时代的人们中成为贤明的象征，他会用简单的方法解最难的问题．古希腊著名的作家和历史学家普鲁塔克(Plutarch，公元前1世纪)说：把这样困难的题目解决得如此简单和明白，在数学里没有听到过，假如有谁尝试一下自己解这些题目，他会什么也得不到．但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就会立刻得出这样的印象，这个解法他自己也会找到．阿基米德用如此容易和简明的方法把我们引向目的．阿基米德终生倾心对科学的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普鲁塔克曾写道：阿基米德废寝忘食，完全忽视关心自己的身体．经常要强迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形．古罗马建筑师维脱罗卫(Vitruvius，公元前2世纪)记述的阿基米德发现浮体规律的情景，令人感叹不已．有一次叙拉古的亥厄洛(Hieron)王让人制造纯金的皇冠．做成后国王怀疑是否完全用纯金制成，便请素称多能的阿基米德来鉴定．阿基米德曾长时间地思考解决的方法，正在苦闷之中，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的浴盆中时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻．于是，他忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的重量．这次成功的发现使阿基米德大吃一惊，他光着身子跑出浴池，大声喊： 我找到了 ．经过仔细地实验，他终于发现了流体静力学的基本原理： 阿基米德原理 ---物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量．在阿基米德一生的最后几年中，表现出了真挚的爱国热情．他为祖国的安危献出了自己全部力量和智慧．当罗马军队首领马塞拉斯率领大军进攻叙拉古时，阿基米德发挥了自己的聪明才智，制造新的机械对抗罗马当时先进的军事设施．他制造了许多武器，做好在任何情况下击退敌人的准备．若敌人离城市很远，便用巨大的远射程投射机器，发射大量的 重炮弹 和 火箭 ，击败敌人的战船．当阿基米德发觉炮弹落得太远，不能击中船只时，便使用了适合较小距离的投射机器．这样，使罗马军队胆战心惊，以致他们无力再向前推进．希腊文献记载，当罗马兵船靠近城下，阿基米德用巨大火镜反射日光使兵船焚烧．另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹出去，烧毁敌人的战船．总之，阿基米德竭尽全力，发明各种新式器械，给罗马军队以沉重的打击，为保卫祖国作出了重大贡献．后来，终因叛徒的出卖，叙拉古城失守了．一种说法是阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于数学的深思，埋头画几何图形．当一个罗马士兵冲到他面前时，阿基米德严肃地说： 走开，不要动我的图． 罗马士兵听了，觉得受到污辱，就拔剑刺死了阿基米德．终年75岁．根据阿基米德生前遗嘱，在墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，象征着他特别珍视的发明．阿基米德在数学中做出很多贡献，他的许多著作的手稿一直保存到现在．一些数学史家都把他的原著译成现代文字．例如，希思的英译本，兹瓦利那的德译本，维尔 埃斯克(P．Ver．Ee－cke)的法译本，还有荷兰的迪克特赫斯(E．J．Dijksterhuis)的名著《阿基米德》．其著作涉及的范围很广，也说明他对前人在数学中的一切发现具有渊博的知识．保存下来的阿基米德著作多半是几何内容的著作，也有一部分力学和计算问题的著作．主要是《论球与圆柱》(On the Sphere and Cylin der)，《论抛物线求积法》(On Quadrature of the Parabola)，《圆的度量》(Measurement of a Circle)，《论螺线》(OnSpirals)，《论平板的平衡》(On Plane Equilibriums)，《论锥型体与球型体》(On Conoids Spheroids)，《砂粒计算》(The Sand Reckoner)，《论方法》(On Method)(阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理)，《论浮体》(On Floating Bodies)，《引理》．在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究．在这些研究中，他预见到了极微分割的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限概念．阿基米德的求积法蕴育着积分思想的萌芽，利用这种方法，发现了定理阿基米德研究了曲线图形求积的问题，并且用穷竭法建立了这样的结果： 任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形(即抛物线)，下面是阿基米德的简略证明，可以揭示他的研究方法．AQ1Q4是一抛物线弓形，抛物线顶点为A(如图3．14)．Q1Q4交抛物线的轴于O点．Q1O和Q4O各在Q2和Q3处平分，作图中所示的各线段就可完成图形．现在，Q1O2＝4Q2O2＝4BC2，AO＝4AC，因此BQ2＝3AC．采用同样方法重复把Q1Q2，Q2O平分就可证明(1)式的右方加上等．在这些线上不断这样做下去，就可证明抛物线弓形面积是这里△是指△AQ1O4．然而阿基米德没有求极限的观念，他是用归谬法来证明他的结论的．这种证法的要点是，如果所求面积不等于给定的面积S，它就一定同时大于它又小于它．而这是不合理的，由此，推知抛物线弓形的面积等于阿基米德在《圆的度量》(Measurement of acircle)一文中，利用外切与内接96边形求得圆周率 ：史上最早给出的关于圆周率的误差估计．在进行证明时，阿基米德避免了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所怀疑的．他考虑了内接多边形和外切多边形．他确立这个基本原理的方法是说明并证明： 给定二不等量，则不论大量与小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出两条直线，使得较长的与较短的之比更小(大于1)；(2)作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比 ．然后就像欧几里得所做过的那样，他证明如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面积都要小．阿基米德对此做了一点补充，即指出若把外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面积之差，小于任何给定的面积．阿基米德还研究了螺线，撰写了《论螺线》一书，有人认为，从某种意义来说，这是阿基米德对数学的全部贡献中最出色的部分．许多学者都在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方法．值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条螺线．这种螺线后来称为 阿基米德螺线 ．螺线有一个基本性质，把矢径的长度和初始线从初始位置旋转时所通过的角度联系起来．此基本性质是以命题14出现的，现在都以r＝a 这个方程来表示之．阿基米德然后证明了，在第一个周转和初始线之间所包围的面积，亦即在矢径O与2写道： 我认为螺线和回到原处的直线所围的面积，等于以该固定点作 有一直线在螺线的末端与螺线相切 并从固定端另作一直线垂直于旋转一周后返回到原处的直线，以致与切线相遇，我认为这样做成的与切线相遇的直线，就等于这个圆的圆周 ．此即为《论螺线》一书中命题24．阿基米德在《砂粒计算》(论数砂)著作中，设计出了一种表示大数的计数系统，能表示超出当时希腊计数系统所能表示的数．在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过10000，并将10000叫做无数之多．阿基米德把无数之多当作一种新的单位，把无数之多引入计算，并且提出了更高位的单位．据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个 群牛问题 ．实质上要从7个方程中，得出8个正整数解，最后归结为一个二次不定方程x2－472949y2＝1，这个方程的解的位数相当大．《引理》(Liber Assumptorum)一书是阿基米德最早的著作，其中含有15个命题，例如：命题2，如果做正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍．命题3，如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的4条线段的平方和等于直径的平方．在《论浮体》(on Floating Bodies)一文中，阿基米德首先给出了比重比流体小的物体、相同的物体、大的物体浮力的法则，这确实是一部具有时代意义的杰作．阿基米德在数学的创作中，运用了很多独到的方法．尤其他根据力学的原理发现问题之法，被整理成《阿基米德方法》(The Method of Archimedes)．1906年海堡(J． L．Heiberg)在君士坦丁堡(Constantinople，现称伊斯坦布尔(lstanbul)，土耳其最大城市)发现阿基米德写给厄拉托塞(Eratosthenes，约公元前274---194年)的信以及阿基米德其他著作的传抄本，记述了阿塞米德结合静力学和流体力学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等有关几何问题．其要点是：体积是由面积构成，面积是由彼此平行的直线构成．每条直线都有重量，而且与它们的长度成正比．因而可以把问题归结于使未知的几何图形与已知的几何图形相互平衡以求重心，其中利用杠杆原理确定抛物弓形面积，球和球冠面积，旋转双曲体体积就是例证．实际上，这是通往积分的较快的迂回之路．阿基米德信心百倍地预言： 一旦这种方法确立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后继者，就会利用这个方法又发现另外一些定理，而这些定理是我所预想不到的． 阿基米德为了能在数学中确立发现问题的方法，并给出了逻辑证明．阿基米德的预言，终于在近2000年之后，得以实现．18世纪，丹尼尔 伯努利(Da－niel Bernoulli)由物理知识推测到了三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解．19世纪中叶黎曼(G．F．B．Riemann)由电学理论确定在每一个封闭的黎曼曲面上都存在着通常有解的代数函数．阿基米德作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下获得的，使证明的过程颇为复杂，但他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明融为一体，并将抽象的理论与工程技术的具体应用紧密结合起来，将希腊数学推向一个新阶段．由于阿基米德在科学研究中，注意在实践中洞察事物的各种现象，并透过现象认清本质，然后通过严格的论证，使经验事实上升为系统的理论，因此，阿基米德在天文学、力学等方面也作出了重大贡献．阿基米德一生酷爱天文学，但遗憾的是他关于天文学的著作没有保留下来，根据希达克斯(Syntaxis)的记载，为了进行天文观测，阿基比较精确的．并用仪器测量太阳的视角直径等，据说阿基米德撰写过《天文仪器的制作》(On the mak－ing of spheres)一书，现已失传．总之，阿基米德的所有名著都以精确和严谨著称．正如数学史家希思所说， 这些论著毫无例外地都是数学论文的纪念碑．解题计划的逐步启示，命题次序的巧妙排列，严格排除与目的没有直接关联的一切东西，对整体的润饰---其完美性所给人的印象是如此之深，以致在读者心中能产生一种近乎敬畏的感情 ．
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发布时间：2017-11-22 19:29:09朱世杰及元代数学一、元初数学成就1．王恂的数学工作王恂(1235 1281)，元代数学家．字敬甫，唐县(今属河北)人．他 六岁就学，十三岁学九数，辄造其极 ．后从刘秉忠学，官至太史令．至元十七年(1280)与天文学家郭守敬(1231 1316)等共同编成《授时历》，其中的数学工作主要是王恂作的．唐代张遂制订历法时，假定太阳作匀加速运动，所以使用二次内插法．但实际上，太阳运行的加速度是不断变化的．在《授时历》中，王恂把太阳、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数，采用三次内插法来求函数值，收到更好效果．但确定天体位置需要使用赤道坐标和黄道坐标，王恂之前是直接通过天文观测来确定这两种坐标的．王恂首先注意到两种坐标的数学关系，提出如下问题：已知太阳的 黄道积度 ，求 赤道积度 和 赤道内外度 ．如图8．16，设A为春分点，D为夏至点，其中d为直径，BN OC，CP OE．只要测得黄道坐标，便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标，从而使人们经过较少的实测，得到较多的结果．2．赵友钦的割圆术赵友钦，元代天文学家、数学家．字子公，号缘督先生，鄱阳(今江西鄱阳)人，生卒年不详．所著《革象新书》是一部天文数学著作．作圆内接正方形，然后不断倍增边数，依次求得各内接正多边形边长(图8．17)． 置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也．周率近似值中最准确的一个．赵友钦说： 自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密．若节节求之，虽至千万次，其数终不穷． 可见他不仅认识到圆内接正多边形的极限位置是圆，而且认识到极限是一个不可穷尽的过程，这种思想与现代极限观念相当接近．赵友钦还进一步揭示了方、圆关系，说： 要之方为数之始，圆为数之终．圆始于方，方终于圆． 这种 曲直互通 的思想是很深刻的，他已认识到方可转化为圆，而转化的条件便是取极限．二、朱世杰生平朱世杰，元代数学家．字汉卿，号松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不详．元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地二十余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时 踵门而学者云集 ．朱世杰全面继承前人的数学成果，他吸收了高次方程的数值解法，又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等，在此基础上进行了创造性研究，写成以总结和普及当时各方面数学知识为宗旨的《算学启蒙》(三卷)和四元术的代表作《四元玉鉴》(三卷)，先后于1299年和1303年刊印．朱世杰是元代最杰出的数学家，清罗士琳(1774 1853)说他 兼包众有，充类尽量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上． 《四元玉鉴》的成书则标志着宋元数学达到最高峰．美国科学史家萨顿(G．Sarton)称赞该书 是中国数学著作中最重要的一部，也是中世纪的杰出数学著作之一．三、《算学启蒙》《算学启蒙》的内容由浅入深，次第谨严，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果 天元术，形成一个完整体系，内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首 总括 中给出一整套数学概念及运算法则，作为全书的理论基础．其中包括正负数乘法法则及倒数概念．朱世杰明确指出： 同名(号)相乘为正，异名相乘为负． 又指出： 平除长为小长，长除平为小平． 小长平相乘得一步为小积． 这便给出倒数的基本性质在《算学启蒙》中，朱世杰借助辅助未知数解线性方程组，这在数学史上还是首次．例如卷下 方程正负门 第五题，依术列方程组如下(改用现代符号)：这种方法对于简化运算程序是很有意义的，系数越复杂，设辅助未知数的方法就越有用．另外，书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题，导出许多高次方程，这说明天元术在李冶的基础上有了进一步的发展．朱世杰还致力于算法研究，给出一些新的公式，如 开方释锁门 给出根式运算法则其中n，a，b为自然数，n 2．《算学启蒙》为《四元玉鉴》提供了必要的预备知识，正如罗士琳所说，该书 似浅实深 ，与《四元玉鉴》 相为表里 ．四、《四元玉鉴》《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法．在他之前，已有李德载《两仪群英集臻》讨论二元术，刘大鉴《乾坤括囊》讨论三元术．在此基础上，朱世杰 演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元 (《四元玉鉴》后序)，创立了举世闻名的四元术．朱世杰的天、地、人、物，相当于现在的x，y，z，u，其摆法如图8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下 三才变通 第1题)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下 四象朝元 第6题)分别摆成图8.19和图8.20的形状．《四元玉鉴》共24门288问，所有问题都与方程或方程组有关．题目顺序大体是先方程后方程组，先线性方程组后高次方程组．朱世杰创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(E.Bezoub,1730 1783)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰．但朱世杰的消法要点仅见于书首 假令四草 ，其他各题均无草．书首还列有 今古开方会要之图 、 四元自乘演段之图 、 五和自乘演段之图 和 五较自乘演段之图 ，这些图的作用也是统御全书．朱世杰说： 凡习四元者，以明理为务．必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也． 卷首各图便是为 明理 而作，他说： 夫算中玄妙，无过演段．如积幽微，莫越认图．其法奥妙，学者鲜能造其微．前明五和，次辨五较，自知优劣也．《四元玉鉴》表明，朱世杰在方程领域取得重要成就．以前的方程都是有理方程，朱世杰则突破有理式的限制，开始讨论无理方程．他不化为有理方程(见 左右逢源 第21题， 拨换截田 第18题， 四象朝元 第1题)．四元消法是朱世杰方程理论的核心．他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉未知数，化四元式为一元式，即一元高次方程．三元式和四元式的消法称为 剔而消之 ，即把全式剔分为二，进行相消．二元式的消法称为 互隐通分相消 ．下面以二元三行式为例说明其消法．其中各系数是关于另一个未知数的多项式(可以是常数)．欲消x2项，先以B2乘(1)式中x2项以外各项，再以A2乘(2)式中x2项以外各项，相减，得C1x＋C0＝0． (3)以x乘(3)，得C1x2＋C0x=0． (4)将(4)与(1)或(2)联立，用同样方法消去x2项，得D1x+D0＝0． (5)(3)与(5)联立，便为二元二行式．朱世杰称C1，D0为外二行，C0，D1为内二行．内二行乘积与外二行乘积相减，得C1D0-C0D1＝0．这便消去x，得到只含另一个未知数的一元方程了．《四元玉鉴》含二元问题36个，三元问题13个，四元问题7个．虽然用到四元术的题目不多，但它们却代表了全书，也代表了当时世界范围内方程组理论的最高水平． 四象朝元 第6题所导出的十四次方程是中国古算史上次数最高的方程．高阶等差级数理论是书中另一成就．沈括的隙积术开了研究高阶等差级数的先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式．朱世杰在这一领域作了总结性工作．在中卷 茭草形段 和下卷 果垛叠藏 中，他依次研究了一阶至五阶等差级数求和问题，不仅给出相应的公式，而且发现其规律，掌握了如下的三角垛统一公式从而奠定了垛积术的理论基础．实际上，等差级数是几阶的，便可把上式中的p换为几．朱世杰给出了p＝1，2， ，5的特例．他还发现垛积术与内插法的内在联系，在 如象招数 第5题中利用垛积术导出四次内插公式(四次差为一非零常数，五次差为零)：其中 1， 2， 3， 4分别为一次差、二次差、三次差、四次差．由于朱世杰正确指出了公式中各项系数恰好是一系列三角垛的积，他显然能够解决更高次的内插问题，从而把中国古代的内插法推向一个新水平．在几何方面，朱世杰也有一定的贡献．自《九章算术》以来，中国就有了平面几何与立体几何，但一直到北宋，几何研究离不开勾股和面积、体积．李冶开始注意到圆城图式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形．朱世杰在李冶思想的基础上，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了平面几何中的射影定理和特殊情形的弦幂定理．例如卷上 混积问元 第七题，如图8．21，朱世杰得到公式易证等号左面等于h2，所以此式与射影定理h2＝ef等价．再如卷中 拨换截田 第十四题，如图8．22，AB CD于E，朱世杰给出公式4CE ED＝AB2此式显然是弦幂定理CE ED＝AE EB在两弦垂直且有一弦为直径时的特殊情形．五、宋元数学的外传及衰落《算学启蒙》出版后不久即传到朝鲜和日本．在朝鲜李朝时期(14 16世纪)，《算学启蒙》及《杨辉算法》都被作为朝廷选拔算官的基本书籍．两书的朝鲜庆州府刻本(15世纪)一直保存至今．由于《算学启蒙》在明代失传，清罗士琳幸得朝鲜金始振翻刻本(1660)，于1839年在扬州重新出版，成为中国现存各版本的母本．《算学启蒙》对日本的影响也很大，不少日本学者在研究此书的基础上写出专著，比较著名的有星野实宣《新编算学启蒙注解》三卷(1672)、建部贤弘《算学启蒙谚解大全》七卷(1690)等．宋元数学还曾传到阿拉伯．13世纪旭烈兀①西征时，带走了一批中国天文学家和数学家．他征服波斯后支持纳西尔丁(Na－sirad－Din，1201 1274)在马拉盖(Maraghen，今伊朗境内)建立了一座规模宏大的天文台，并把带去的中国学者留在天文台和纳西尔丁一起工作，这是中国数学传入阿拉伯国家的一个途径．阿拉伯数学家卡西(al－kāshī，？ 1429)的《算术之钥》(The Key of Arithmetic，1427)中有不少内容与中国数学相同，如贾宪三角形、增乘开方法，以及和 百鸡问题 极为类似的 百禽问题 等．他受到中国数学影响是可以肯定的，当然不排除其独立取得成果的可能性．在元代，阿拉伯数码曾传入中国，但并未被中国人接受．欧几里得《几何原本》也传到上都(今内蒙古正蓝旗)，可惜没有译成中文，所以影响不大，不久便散失了．朱世杰之后，元代数学便开始走下坡路．明代数学理论水平远不及宋元，天元术、四元术成为绝学．直到明末清初，由于西方数学的传入及中国学者的努力，数学才有所回升．那么，宋元数学衰落的原因是什么呢？首先，中国传统数学是依靠算筹的，虽然这是一种很有用的计算工具，但具有不可避免的局限性，因为它只适于计算而不适于证明，只能表示具体的量而不能表示抽象的量．这就限制了人们的抽象思维，限制了数学一般化程度的提高．宋元方程理论可以由天元术发展为四元术，但在筹算体系内却无法建立五元术或n元术，因为四个未知数已把 太 的上下左右占满．这个例子便说明了算筹的局限性．更重要的是，人们无法利用算筹进行逻辑推理，也很难在筹算体系内发展数学符号．但这些消极因素的总和，充其量是使数学停滞不前．而事实上，元末数学不仅没前进，反而后退．造成这种状况的原因就不在数学内部，而在于社会了．当时的政策是不利于科学发展的，尤其是八股取士制．1314年恢复科举考试后，内容以朱熹集注的《四书》为主，将数学内容完全取消．不久，这种考试发展为 以四书五经命题、八股文取士 的制度，引导知识分子远离自然科学，严重束缚了读书人的思想．知识分子们为了功名，纷纷埋头于《四书五经》，只会在儒家经典中寻章摘句，奢谈三纲五常之类的封建伦理，哪里还顾得上数学及其他有实用价值的科学技术呢？正如元末丁巨所说： 时尚浮辞，动言大纲 士类以科举故，未暇笃实． 八股取士制的危害，在明代愈演愈烈，顾炎武曾痛斥说： 开科取士，则天下之人日愚一日． 元末以后的社会思潮也不利于数学发展，成为官方哲学的理学完全摒弃了自然科学．理学家们大谈天理、人伦，认为科学技术乃雕虫小技，为君子所不齿，甚至讥笑研究数学的人是 玩物丧志 ．在这种社会环境中，数学由盛而衰就不奇怪了．
