解放军文职招聘考试北宋时期的数学成就-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育
发布时间：2017-11-22 19:27:33北宋时期的数学成就一、贾宪的增乘开方法贾宪生活于11世纪，是天算家楚衍的学生．楚衍有两名弟子，一名朱吉，后任太史；另一名便是贾宪，在朝中任左班殿值．贾宪对《九章算术》深有研究，曾著《黄帝九章算经细草》，还著有《释锁》算书，均佚．但两书的部分内容，保存在杨辉《详解九章算法》中．《详解九章算法 纂类》所载的贾宪增乘开方法，是中算史上第一个完整的、可推广到任意次方的开方程序(原载《黄帝九章算经细草》)．例如 令有积一百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？ 此题相当于求方程x3 ＝1860867的正根．按贾宪方法(参见图8．1)：(1)实上商置第一位得数．(2)以上商乘下法置廉，乘廉为方，除实讫．(3)复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(4)其方一、廉二、下三退．(5)再于第一位商数之次，复商第二位得数，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实讫．(6)复以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(7)其方一、廉二、下三退，如前．(8)上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立方一面之数．很明显，求得方根第一位后，求下面每一位的步骤都相同，(3)(4)(5)是求第二位的步骤，(6)(7)(8)是求第三位的步骤，依此类推．如果是开平方，则开方式无廉；如果是开四次方或四次双方以上，则在方和下法间加廉，称一廉、二廉 ，开方步骤与开立方一致．在增乘开方法基础上，贾宪创造了 开方作法本源图 (原载《释锁》，存于杨辉《详解九章算法》)即贾宪三角形(图8．2)，实际是世界上最早的二项式定理系数表．虽然该表到六次方止(末行为(a＋b)6的系数)，但表中数字是有规律的，每个数都是它肩上两数之和，可按此规律向下无限延伸(朱世杰便推广到八次方，即增加两行)．所以它是一般性的．二、刘益的正负开方术刘益是中山(今河北定县)人，生活年代可能比贾宪稍晚．著有《议古根源》，已失传．该书的部分内容保存在杨辉《田亩比类乘除捷法》里．从中可以看出，刘益把增乘开方法推广为正负开方术．贾宪的方程都是xn＝B的特殊形式(其中n不大于4，B为正有理数)，刘益则研究了一般的高次方程，如-5x4＋52x3＋128x2＝4096．在刘益的方程中，未知数系数可正可负，故曰 正负开方术 ．例如要求方程-5x2+228x＝2592的正根，先摆算式如图8．3(1)，然后把方和隅向左移动，方每步移一位，隅每步移二位，本题只须各移一步．开方过程如p241图8．3(开方式下面为相应的演草)．刘益的正负开方术是可以推广到任意次方程的，所以说他的工作奠定了高次方程数值解法的基础．不过，刘益的思想也有局限性，他求解的方程的常数项仅限于正数，这一点同贾宪一样．这种限制，直到李冶时代才取消．三、沈括的数学成就沈括(1030---1094)，北宋科学家，字存中，号梦溪，钱塘(今杭州)人．进士及第后，初任馆阁校勘，后任太子中允，提举司天监．王安石变法期间，沈括曾任 权三司使 (主管财政)、 判军器监 等要职，时常出京察访各地的新政实施情况，积极参与变法运动．沈括一生论著极多，据《宋史 艺文志》所录有22种155卷，流传至今的有5种64卷．其中《梦溪笔谈》(26卷)是沈括晚年定居镇江时，将一生见闻及研究心得以笔记形式写成的著作．书中的科学内容相当丰富，被著名科学史家李约瑟(J．Needham，1900---1995)誉为 中国科学史的里程碑 ．沈括在讨论数学起源时说： 大凡物有定形，形有真数．方圆端斜，定形也；乘除相 ，无所附益，泯然冥会者，真数也． 这就是说，数学来源于客观存在的形和数，形是物体的特有形状而数是从形中抽象出来并能反映形的 真数 ．那么，数是怎样被人认识的呢？沈括认为首先要靠实践： 予占天候景，以至验于仪象，考数下漏，凡十余年，方粗见真数． 但只有实践还不行，沈括说： 耳目能受而不能择，择之者心也． 意思是人们通过感官来接受客观世界的信息，但不能靠感官去辨别，必须依靠思维，才能由此及彼，由表及里，形成对数学的理性认识．这些看法是很精辟的．沈括的主要数学成就有两项---会圆术和隙积术．会圆术所解决的是由弦求弧问题．如图8．4，沈括得到以下公式(1)式显然由勾股定理推出．至于(2)式，可能是在《九章算术》所载弓形面积公式的基础上，凭借以直代曲的极限思想得出的．沈括的会圆术问世后，收到明显的社会效益．著名的《授时历》中，使用此术解决了一个重要的天文问题 太阳的赤道坐标与黄道坐标的变换．所谓隙积，即 积之有隙 者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的垛积，实际是二阶等差级数．设隙积共n层，上底由a b个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层(即下底)由c d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式如下：沈括的工作开了研究高阶等差级数的先河．关于此式的由来，后人有各种推测，尚无定论．但有一点是肯定的：这一精确公式不可能从经验中归纳出来，一定是逻辑推理的结果．四、从条段法到天元术方程理论是宋元数学发展的主流．列方程的重要方法---天元术，便产生于北宋，而其渊源则为条段法．条段法亦称演段法，是推导方程的几何方法．刘益《议古根源》通过平面图形的分割拼补寻找等量关系，求得方程各项系数．因推演中常将各量表示成一段段条形面积，故名．北宋数学家蒋周亦用条段法推导方程．蒋周，平阳(今山西临汾)人，生活于11世纪．著有《益古集》，已失传，书中部分内容存于李冶《益古演段》．从书中题目来看，蒋周的方法比刘益更接近天元术，因为他懂得寻找含有所求量的等值多项式，然后把两个多项式连为方程．例如第33题(按《益古演段》顺序)： 今有圆田一段，中心有直池水占之，外计地七千三百步．只云并内池长阔，少田径五十五步，阔不及长三十五步．问三事(指池长、池阔、圆径)各多少？ (图8．5)令圆径为d，直池长a阔b，圆积S1，3d2－4 7300＝4S． (1)这便得到一个等于4S的多项式，下面再设法得到等于4S的另一多项式．因为d－55＝a＋b，所以(d－55)2＝(a＋b)2=4ab＋(a-b)2＝4S＋352，即 (d-55)2-352＝4S． (2)把两个等于4S的多项式连起来，便得方程3d2-4 7300＝(d-55)2-352．(1)式和(2)式中的4S并非所求，蒋周只是通过它得到两个等值多项式，在建立方程时便把它们消掉了．这种思想是天元术中不可缺少的．但条段法有着明显的局限性．首先，由于没有设未知数的步骤，不是把未知数用统一符号表示出来，再寻找它和已知量的关系，而是在解题过程中去找含有所求量的等式，这便增加了思维的复杂性．其次，条段法只能列出二次方程，因为高于二次的方程很难用面积来表示．数学的发展迫切需要一种简便的、能建立高次方程的一般方法，天元术便应运而生了．天元术是一种列方程的代数方法，因称未知数为天元，故名．从现存古算书分析，洞渊无疑是天元术的先驱者之一．洞渊生活于11世纪，所著算书早已亡佚．但李冶《测圆海镜》中保存了洞渊九容公式，即九种求勾股容圆直径的方法．洞渊的天元术便以这些公式为出发点．《测圆海镜》保存了洞渊的两道算题，即卷十一第十七题和第十八题．这两题所得均为四次方程，不仅次数高于蒋周的方程，更重要的是有了 立天元一 (即设未知数x)的明确步骤．把各种各样的未知数用统一符号表示，让它像已知量一样参与运算，这是数学思想上的突破．在第十七题中，洞渊得到后，便把各项中x的幂提高两次，成为-4x4 -600x3 -22500x2+11681280x+788486400=0．这说明他已懂得用分母中未知数的最高次幂去乘分式方程各项，从而化分式方程为整式方程．在洞渊的方程中，x的幂具有纯代数意义，而不再拘泥于它的几何解释．这正是天元术高于条段法之处，也是方程向高次发展的基础．
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发布时间：2017-11-22 20:27:55中国现代数学的发展中国传统数学在宋元时期达到高峰，以后渐走下坡路．20世纪重登世界数学舞台的中国现代数学，主要是在西方数学影响下进行的．西方数学比较完整地传入中国，当以徐光启(1562 1633)和利玛窦(Mattao Ricci， 1552 1610)翻译出版《几何原本》前六卷为肇始，时在1607年．清朝初年的康熙帝玄烨(1654 1722)，曾相当重视数学，邀请西方传教士进宫讲解几何学、测量术和历法，但只是昙花一现．鸦片战争之后，中国门户洞开，再次大规模吸收西方数学，其主要代表人物是李善兰(1811 1882)．他熟悉中国古代算学，又善于汲取西方数学的思想．1859年，李善兰和英国教士伟烈亚力(Alexander Wylie，1815 1887)合译美国数学家鲁米斯(Elias Loomis， 1811 1889)所著的《代微积拾级》(Elements of AnalyticalGeometry and of the Differenfial and Integral Calculus)，使微积分学思想首次在中国传播，并影响日本．李善兰在组合数学方面很有成就．著称于世的有李善兰恒等式：1866年，北京同文馆增设天文算学馆，聘李善兰为第一位数学教习．由于清廷政治腐败，数学发展十分缓慢．反观日本，则是后来居上．日本在1870年代还向中国学习算学，《代微积拾级》是当时日本所能找到的最好的微积分著作．但到1894年的甲午战争之后，中日数学实力发生逆转． 1898年，中国向日本大量派遣留学生，其中也包括数学方面的留学生．1911年辛亥革命之前，有三位留学国外的数学家最负盛名．第一位是冯祖荀(1880 1940)，浙江杭县人．1904年去日本京都第一高等学校就读，然后升入京都帝国大学研修数学．回国后曾在北京大学长期担任数学系系主任．第二位是秦汾(1887 1971)，江苏嘉定人．1907年和1909年在哈佛大学获学士和硕士学位．回国后写过许多数学教材．担任北京大学理科学长及东南大学校长之后，弃学从政，任过财政部次长等．郑桐荪(1887 1963)在美国康奈尔大学获学士学位(1907)，以后在创建清华大学数学系时颇有贡献．由于1908年美国退回部分庚子赔款，用于青年学生到美国学习．因此，中国最早的数学博士多在美国获得．胡明复(1891 1927)于1917年以论文 具边界条件的线性微积分方程 (Lin-ear Integro-Differential Equations with BoundaryCondition)，在哈佛大学获博士学位，是中国以现代数学研究获博士学位的第一人．他返国后办大同大学，参与《科学》杂志的编辑，很有声望，惜因溺水早逝．1918年，姜立夫(1890 1978)亦在哈佛大学获博士学位，专长几何．他回国后办南开大学，人才辈出，如陈省身、江泽涵、吴大任等，姜立夫是中国现代数学的先驱，曾任中央研究院数学研究所首任所长．本世纪20年代，中国各地的大学纷纷创办数学系．自国外留学回来的数学家担任教授，开始培养中国自己的现代数学人才．其中比较著名的有熊庆来(1893 1969)，1913年赴法国学采矿，后改攻数学．1921年回国后在东南大学、清华大学等校任数学教授，声誉卓著．1931年再度去法国留学，获博士学位(1933)，以研究无穷级整函数与亚纯函数而闻名于世．陈建功(1893 1971)和苏步青(1902一)先后毕业于日本东北帝国大学数学系．他们分别于1930年和1931年回国，在浙江大学担任数学教授．由于锐意进取，培植青年，使浙江大学成为我国南方最重要的数学中心．陈建功以研究三角函数论、单叶函数论及函数逼近论著称．他在1928年发表的《关于具有绝对收敛傅里叶级数的函数类》，指出：有绝对收敛三角级数的函数的充要条件是杨(Young)氏函数，此结果与英国数学大家哈代(G．H．Hardy)和李特尔伍德(J． E． Littlewood)同时得到．这可以标志中国数学研究的论文已能达到国际水平．苏步青以研究射影微分几何而著称于世．他的一系列著作《射影曲线概论》，《一般空间微分几何》、《射影曲面概论》等，在国内外都产生相当影响，曾被称为中国的微分几何学派．1952年，他们从浙江大学转到上海复旦大学，使复旦大学数学系成为中国现代数学的重要基地．1930年前后，清华大学数学系居于中国数学发展的中心地位．系主任是熊庆来，郑桐荪是资深教授．另外两位教授都在1928年毕业于美国芝加哥大学数学系，获博士学位．其中孙光远(1897 1984)专长微分几何，他招收了中国的第一名数学硕士生(陈省身)，杨武之(1898 1975)则专长代数和数论，以研究华林(Waring)问题著称．这时的清华，有两个杰出的青年学者，这就是来自南开大学的陈省身和自学成才的华罗庚．陈身省于1911年生于浙江嘉兴．1926年入南开大学，1930年毕业后转到清华，翌年成为孙光远的研究生，专习微分几何．1934年去汉堡大学，在布拉士开(W．Bla-schke)指导下获博士学位(1936)，旋去巴黎，在嘉当(E．Cartan)处进行访问，得其精华．1937年回国后在西南联大任教．抗日战争时期，受外尔(H．Weyl)之邀到美国普林斯顿高等研究院从事研究，以解决高维的高斯 邦内(Gauss Bonnet)公式，提出后来被称为 陈省身类 的重要不变量，为整体微分几何奠定基础，其影响遍及整个数学．抗日战争结束后返国，任中央研究院数学研究所代理所长，培植青年数学家．1949年去美国．1983年获世界5高数学奖之一的沃尔夫奖(WilfPrize)．华罗庚(1910 1985)是传奇式的数学家．他自学成才，1929年他只是江苏金坛中学的一名职员，却发表了《苏家驹之代数的五次方程解法不能成立之理由》，此文引起清华大学数学教授们的注意，系主任熊庆来遂聘他到清华任数学系的文书，华罗庚最初随杨武之学习数论，在华林问题上很快作出了成果，破例被聘为教员．1936年去英国剑桥大学，接受哈代的指导．抗日战争时期，华罗庚写成《堆垒素数论》，系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德的圆法，维诺格拉多夫(И．М．Виноградов)的三角和估计方法，以及他本人的方法．发表至今已40年，主要结果仍居世界领先地位，仍是一部世界数学名著．战后曾去美国．1950年返回中国，担任中国科学院数学研究所的所长．他在数论，代数，矩阵几何，多复变函数论以及普及数学上的成就，使他成为世界级的著名数学家．他的名字在中国更是家喻户晓，成为 聪敏 、 勤奋 的同义语．三十年代初的清华大学，汇集了许多优秀的青年学者．在数学系先后就读的有柯召(1910 )，许宝騄(1910 1970)，段学复(1914 )，徐贤修(1911 )，以及物理系毕业、研究应用数学的林家翘(1916 )等等，后来均成为中国数学的中坚以及世界著名数学家．许宝騄是中国早期从事数理统计和概率论研究，并达到世界先进水平的一位杰出学者．1938 1945年间，他在多元分析与统计推断方面发表了一系列论文，以出色的矩阵变换技巧，推进了矩阵论在数理统计中的应用，他对高斯 马尔可夫模型中方差的最优估计的研究，是许多研究工作的出发点．50年代以来，为培养新中国的数理统计学者和开展概率统计研究作出许多贡献．林家翘是应用数学家，清华大学毕业后去加拿大，美国留学．从师流体力学大师冯 卡门(von Karman)．1944年，他成功地解决了争论多年的平行平板间的流动稳定性问题，发展了微分方程渐近理论的研究．60年代开始，研究螺旋星系的密度波理论，解释了许多天文现象．北京大学是我国的最高学府．20年代军阀混战时期，因经费严重不足，学术水平不及由美国退回庚款资助的清华大学数学系．进入30年代，以美国退回庚款为基础的中华文化教育基金会也拨款资助北京大学，更由于江泽涵(1902 )在哈佛大学获博士学位后加盟北大，程毓淮(1910 )获德国哥廷根大学博士学位后来北大任教，阵容渐强．学生中有后来成名的樊畿(1916 )，王湘浩(1915 1993)等．三十年代的中国青年数学家还有曾炯之(1897 1943)，他在哥廷根大学跟随杰出的女数学家诺特(E．Noether)研究代数，1933年完成关于 函数域上可除代数 的两个基本定理，后又建立了拟代数封闭域层次论，蜚声中外．抗日战争时期因贫病在西昌去世．周炜良(1911 )为清末民初数学家周达之子，家庭富有，在美国芝加哥大学毕业后，转到德国莱比锡大学，在范 德 瓦尔登(Van der Waerden)指导下研究代数几何，于1936年获博士学位，一系列以他名字命名的 周坐标 周形式 、 周定理 周引理 ，使他享有盛誉．抗日战争胜利后去美国约翰 霍普金斯大学任教，直至退休．1935年，中国数学会在上海成立．公推胡敦复(1886 1978)为首届董事会主席．会上议决出版两种杂志．一种是发表学术论文的《中国数学会学报》，后来发展成今日的《数学学报》，一种是普及性的《数学杂志》，相当于今之《数学通报》．中国数学会的成立，标志中国现代数学已经建立，并将很快走向成熟．最早访问中国的著名数学家是罗素(B．A．W．Russel)，他于1920年8月到达上海，在全国各地讲演数理逻辑，由赵元任做翻译，于次年7月离去．法国数学家班勒卫(P．Painleve)和波莱尔(E．Bovel)也在20年代未以政治家身份访华．1932年，德国几何学家布拉希开(W．Blaschk)到北京大学讲学，陈省身、吴大任等受益很多．1932 1934年间，汉堡大学年轻的拓扑学家斯披涅儿(E．Sperner)也在北京大学讲课．1934年4月，美国著名的常微分方程和动力系统专家伯克霍夫(G.D.Birkhoff)也到过北大．此后来华的是美国哈佛大学教授奥斯古德(W．F．Osgood)，他在北京大学讲授函数论(1932 1934)．控制论创始人，美国数学家维纳(N．Wiener)来清华大学电机系访问，与李郁荣(1904 )合作研究电网络，同时在数学系讲授傅里叶变换理论等．维纳于1936年去挪威奥斯陆参加国际数学家大会，注明他是清华大学的代表．抗日战争开始之后，中国现代数学发展进入一个新时期．一方面是异常清苦的战时生活，与外界隔绝的学术环境；另一方面则是无比高涨的研究热情，硕果累累的科学成就．在西南联合大学(北大、清华、南开)的数学系，姜立夫、杨武之、江泽涵等领导人正值中年，而刚满30岁的年轻教授如华罗庚、陈省身以及许宝騄等，都已达到当时世界的先进水平．例如华罗庚的《堆垒素数论》，陈省身证明高斯 邦内公式，许宝騄发展矩阵论在数理统计的应用，都产生于这一时期．他们培养的学生，如王宪钟、严志达、吴光磊、王浩、钟开莱，日后都成为著名数学家．与此同时，位于贵州湄潭的浙江大学，也由陈建功、苏步青带领，造就出程民德、熊全治、白正国、杨忠道等一代数学学者．如果说，在20年代，中国创办的大学已能培养自己的数学学士，那么在30年代的北大、清华、浙大等名校，已能培养自己的数学硕士，而到抗日战争时期的40年代，从教员的学术水准，开设的课程以及学生的成绩来看，应该说完全能培养自己的数学博士了．从1917年中国人第一次获得数学博士，到实际上具备培养自己的数学博士的水平，前后不过20余年的时间，发展不可谓不快．1944年，中央研究院决定成立数学研究所，由姜立夫任筹备主任．不久，抗日战争胜利，于1946年在上海正式成立数学研究所，由姜立夫任所长．因姜立夫出国考察，遂由陈省身代理所长．陈省身办所的宗旨是培养青年人，首先让他们研修拓扑学，以便迅速达到当时数学发展的前沿．这时在所内工作的研究人员中，有王宪钟、胡世桢、李华宗等已获博士学位的年轻数学家，更有吴文俊、廖山涛、陈国才、杨忠道、叶彦谦、曹锡华、张素诚、孙以丰、路见可、陈杰等刚从大学毕业不久的学生．1949年成立中华人民共和国之后，中国现代数学有了长足的发展．原来已有建树的解析数论、三角级数论、射影微分几何等学科继续发展．在全面学习苏联的50年代，与国民经济发展有密切关系的微分方程、概率论、计算数学等学科获得应有的重视，使整个数学获得全面和均衡地进步．高等学校数学系大规模招生，严谨的教学方式培养出大批训练有素的数学工作者．在这一时期内，作出重要贡献的有吴文俊(1919 )．他于1940年在交通大学毕业，后去法国留学，获博士学位．他在拓扑学方面的主要贡献有关于施蒂费尔 惠特尼(Stiefel-Whit-ney)示性类的吴(文俊)公式，吴(文俊)示性类，以及关于示嵌类的研究．70年代起，吴文俊提出了使数学机械化的纲领，其一个自然的应用是定理的机器证明，这项工作现在正处于急剧发展中．吴文俊的数学机械化思想来源于中国传统数学．因此，吴文俊的工作显示出中国古算法与现代数学的有机结合，具有浓烈的中国特色．50年代以来的一些青年数学家的工作值得注意，如陈景润、王元、潘承洞在数论方面的研究，特别是对哥德巴赫猜想的重大推进．杨乐、张广厚关于亚纯函数值分布论的研究，谷超豪在微分几何与非线性偏微分方程方面的研究，夏道行关于线性算子谱论和无限维空间上调和分析的研究，陆启铿、钟家庆在多复变函数论与微分几何方面的研究，都有国际水平的成果．80年代以来，还有姜伯驹(不动点理论)、张恭庆(临界点理论)、陆家羲(斯坦纳三元素)等人的工作，十分优秀．廖山涛在微分动力系统研究上作出了独特的贡献．中国数学家参加国际数学家大会(International Cong-ress of Mathematics)始自1932年．北京数学物理学会的熊庆来和上海交通大学的许国保作为中国代表参加了那年在苏黎世举行的会议．中山大学的刘俊贤则是参加1936年奥斯陆会议的唯一中国代表(不计算维纳代表清华大学与会)．此后由于代表权问题，中国大陆一直未派人与会．华罗庚、陈景润收到过到大会作报告的邀请．1983年，中国科学院计算数学家冯康被邀在华沙大会上作45分钟的报告，都因代表权问题未能出席．1986年，中国在国际数学家联盟(IMU)的代表权问题得到解决：中国数学会有三票投票权，位于中国台北的数学会有两票投票权．这年在美国加州伯克莱举行的大会上，吴文俊作了45钟报告(关于中国数学史)．1990年在东京举行国际数学家大会，中国有65名代表与会(不包括台北)．80年代以来，中国数学研究发展很快．从原来的中国科学院数学研究所又分立出应用数学研究所和系统科学研究所．由陈省身担任所长的南开数学研究所向全国开放，发挥了独特的作用．北京大学、复旦大学等著名学府也成立了数学研究所．这些研究机构的数学研究成果正在逐渐接近国际水平．到1988年为止，在国外出版的中国数学家的数学著作已有43种．《数学年刊》《数学学报》都相继出版了英文版，在国外的影响日增，1990年收入世界数学家名录的中国学者有927名．先后在中国国内设立的数学最高奖有陈省身奖和华罗庚奖．1990年起，为了支持数学家率先赶上世界先进水平的共同愿望，除了正常的自然科学基金项目之外，又增设了专项的天元数学基金．这一措施也大大促进了数学研究水平的提高．在中国的台湾省，中央研究院的数学研究所是主要的数学研究机构，曾由周鸿经、樊畿等多人主持过．台湾大学集中了许多著名的数学教授．早期有施拱星、许振荣等．台湾学生在美国获博士学位并在美国各大学数学系任教的学者很多，有较大影响的有项武忠、项武义等人．香港地区的数学教育在第二次世界大战之前没有多少力量．战后最有影响的是几何学家黄用诹，他从1948年起任香港大学教授，又担任过教务长和副校长．从香港大学和中文大学培养出一批有世界影响的数学家，其中包括荣获菲尔兹奖的丘成桐，以及肖荫堂、陈绍远等著名数学家．
