解放军文职招聘考试巴比伦的数学-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育
发布时间：2017-11-22 19:07:38巴比伦的数学巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果．一、记数法与进位制一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记数的．他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字．他们用垂直的楔形来表示1，如 ．用末端二个横向楔形表示10，如 ．用记号 表示35．用记号 表示9，后来简化为 ．以上可以看出，巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似．但是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制．这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森开莱(现在的拉山或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是1 4，其后接着写出1 21，再后是2 24，直到最后写的是58 1．这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：1 4＝60＋4＝64=82，1 21=60＋21＝81＝92，58 1=58 60＋1＝3481＝592．应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号．例如，(5 6 3)可表示5 602＋6 60＋3＝18363，也可表 下文来分析、确定．古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的．但据有的材料记载，早期的苏默人是不知道60进位制的．从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很自然的①．二、算术运算由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了．巴比伦人对整数的乘法，采取了 分乘相加 的方法．例如，某数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果．他们还造出了一些乘法表．(左边是巴比伦人的记号，右边用现代符号表示)巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表．巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题．当方根是整数时，给出了准确的值．对于其它方根，由于采用60进位制，只能是近似值．并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表．巴比伦人也曾给出了求a2＋b型的方根近似公式：数大．到了希腊时期，著名数学家阿基米德(Archi－medes)、海伦(Heron)创造出了平方后比原数小的近似公式．三、代巴比伦人不但具有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代数问题的能力．例如：在赛凯莱(Senkereh)出土的古巴比伦(汉穆拉比王朝时期)的原典AO8862，记载着下面的问题：(用现代语言叙述)一块长方形土地面积加上长与宽之差为3.3①(即183)，而长与宽之和为27，这块地的长、宽、面积各几何？(1)古巴比伦人的解法：(按60进制计算)27＋3.3=3.302＋27=2929 2＝14.3014；30 14；30＝3.30；153.30；15-3.30＝0；150；15的平方根是0；3014；30＋0；30=15 (长)14；30-0；30=14因为原来是将27加上2，现在应从14减2，则宽是14－2= 12故得到，15 12＝3.0(面积)15-2＝133.0＋3＝3.读者可以辨认，以上例题的解法是从6行到29行之间，是用楔形文字书写的．(2)如果用现代的列二元一次方程组的方法解，则很简便．设长为x，宽为y，可列成如下方程组：从AO8862原典的最后一行的结果看出，x＝15，y＝12是满足方程组(1)的解的．在前面解题时，实际上是用新的宽y"代替原宽y，即：y"=y+2，y=y"-2．使用如上这种代换方法，使问题简单化了．代换后，可得到新的二元一次方程组：把方程组(2)的第1式加到方程组(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地写着)27+3.3=3.302+27＝29之后，继续解方程组(2)．从上边的具体问题求解中，我们可以悟出解方程组的一般方法，用现代符号表示，可谓：其解为：巴比伦人求解的各个步骤是符合解方程组的一般方法的，但是，他们没有给出求解的一般公式．在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由两正方形并组成一个面积为1000，一正方形边为另一正方形边的巴比伦人是按如下方法求解的：(用现代符号表示)设两个正方形边长分别为x，y．得到一个正整数解为：x＝30．以上说明巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算术方法求解．巴比伦人对简单的三次和四次方程也求解过．例如在原典中有这样的题目：一个立方体，其体积为长、宽、高分别为x、y、z，体积为V，实际上是求解方程组解此方程组，涉及算立方根问题，巴比伦人用数表来求解(见算术运算部分的数表)．四、几何在古巴比伦时期，常常把几何问题化为代数问题来解决．在他们心目中，几何似乎不占有重要位置．但是，在20世纪中叶布尔昂(E．M．Buuins)博士和鲁达(M．Rutten)撰写的《斯萨数学书》(Textes math matiques de Suse，M moiresMission arch ol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯萨出土的古巴比伦的楔形文字原典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，说明古巴比伦人对几何问题也有一定的兴趣．例如，在拉尔萨(Larsa)出土的古巴比伦原典VAT8512中，有下面的问题(用现代符号和语言叙述)．已知底边b＝30的三角形，由平行于底的直线把其分成两部分，即高分别为h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面积F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割线长(x)．由以上条件，可建立如下关系式：由图2．3可知，比例式h2∶h1=x∶(b-x) (5)成立．根据以上条件，可解出x，即：由上可知，巴比伦人建立的关于x，h1，h2的关系式是正确的．但是，还没有理由(证据)说明以上是一种纯粹代数的推演．数学史家尤伯尔(P．Huber)对(4)式做了如下解释(Isis Vol46，p104)：如果在三角形一边加一个长为h1＋h2的长方形，拼成一个上、下底边长分别为c和a＝c＋b的梯形，延长割线x，把此梯形分成两部分，如图2．4其面积差为：(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．的面积分成二等分z，并给出(参考MKT I，p131)可得到(6)式的证明：按照尤伯尔的解释，以上的解法思路是几何学的思想，而不是代数的．巴比伦人很早就知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)，并能应用此定理解决具体的、比较简单的问题，在古巴比伦的数学原典中有记载，并使用了1500年之久，直到赛莱乌科斯王朝时代(公元前310年以后)的著作中，仍有记载．巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积，他们用高乘以两底面积和的一半的方法进行计算．
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发布时间：2017-11-22 19:24:29阿拉伯数学是指7世纪伊斯兰教兴起后，崛起于阿拉伯半岛，建立在横跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国统治下各民族所开创的数学．通常所谓伊斯兰国家的数学或中亚细亚数学也是指阿拉伯数学．在伊斯兰国家里，科学文化的发展是许多民族的学者共同劳动的结果，数学也不例外．他们是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、犹太人和阿拉伯人，等等．他们大都是伊斯兰教徒．讲到这一时期这一地区的数学，没有很恰当的词语来表述，由于当时的数学著作都是用阿拉伯文撰写的，一般就统称为阿拉伯数学．上述各民族的学者有时也统称为阿拉伯人．公元6世纪以前，阿拉伯人过着游牧部落生活．当时阿拉伯半岛盛行多神崇拜，各部落间战争连绵不断．由于东西商路改道，社会经济日趋衰落，要求改变这种社会状况和实现政治统一，成为各部落的共同愿望．伊斯兰教的创始人默罕穆德(Mvhammad，约570 632)，出生于阿拉伯半岛麦加城的一个没落贵族家庭，早年曾随商队到过叙利亚等地，后来回到麦加城经商．公元610年，在麦加开始创传以信仰一神为中心的伊斯兰教．后因遭到多神教徒的反对和迫害，于公元622年秘密出走麦地那．他在那里组织了一个接受伊斯兰教的阿拉伯部落联盟，号召所有伊斯兰教徒 穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血缘的狭隘界限以共同的信仰为纽带团结起来．伊斯兰教就这样在阿拉伯半岛创立并迅速传播开去，成为团结阿拉伯人的一种力量．阿拉伯部落统一后，形成了一个威势很大的军事力量．在 与异教斗争 的神圣口号下，迅速向东方和西方的富饶国家入侵，并在被征服的国家里普及了伊斯兰教．不到一个世纪，阿拉伯人就占领并统治了几乎整个比利牛斯半岛、所有地中海沿岸的非洲国家、近东地区、高加索和中亚细亚，形成了一个横跨欧、亚、非三洲的强大的阿拉伯帝国．我国历史上称之为大食国．由于哈利发政权的对立斗争，在8世纪中叶，大食国分裂为东大食和西大食．东大食的首都是巴格达，西大食的首都是科尔多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之间，基督教十字军东侵，把穆斯林逐出圣地．13世纪初，成吉思汗率蒙古部队西征．13世纪中叶，成吉思汗之孙旭烈兀再次率兵西征，占领了原来阿拉伯哈利发在亚洲的所有领土，创立了伊儿汗国．蒙古人征服了这些伊斯兰国家后不久，他们自己也都皈依了伊斯兰教．到了14、15世纪，在中亚又出现了另一个蒙古帝国 帖木耳国．12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去了他们在欧洲的立足点．在阿拉伯帝国的统治下，被征服的民族很快转向伊斯兰教．同时，阿拉伯语很快成为各国通行的语言，在知识界成为学术交流的工具．这和中世纪西方各国把拉丁语作为通用语言一样．阿拉伯人和其它民族的人民共同创造了新的、别具一格的文化．当时欧洲正处在漫长的黑暗时期，阿拉伯世界的科学文化却后来居上，成为当时的人类科学文化中心之一．8世纪中叶至9世纪初，出现了几位热心提倡科学的哈利发：曼苏尔(al－Mansur，712 775)，阿伦 赖世德(Hārūnar－Rashid， 765 809)，马蒙(al－Mamun， 786 833)等．在他们的大力支持和鼓励下，设立学校、图书馆和观象台．在东阿拉伯形成了以巴格达为首的学术中心．哈利发马蒙在巴格达创办了著名的 智慧馆 (Bayt al－Hikmah)．这是自公元前 3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关，除用作翻译馆外，还起到科学院和公共图书馆的作用，它还附设一座天文台．在这里，大量的波斯、希腊和印度的古典著作被系统地译为阿拉伯文．哈利发还组织力量对这些著作进行广泛而深入的研究．就这样，东西方的文华精华被融合在一起，出现了一个学术繁荣时期．阿拉伯的数学研究就从这里开始．从8世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期．由于阿拉伯人能够控制或取得拜占庭帝国、埃及、叙利亚、波斯及印度诸国的人才和文化，所以他们得以接触几乎所有的古代重要著作．欧几里得(Euclid，约公元前330 前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287 前212)、阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262 前190)、海伦(Heron ofAlexandria，约62年)、托勒密(Ptolemy，约100 约170)、丢番图(Diophantus，250)、以及婆罗摩笈多(Brahmagupta，598 665)等著名学者的数学和天文学著作都被译成阿拉伯文．在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证、勘误、增补和注释．这样一来，大量的古代科学遗产获得了新生．已经荒废了几个世纪的古代学者的著作又重新成为人们手头的教材．当古希腊的原著失传之后，这些阿拉伯文译本就成为后来欧洲人了解古希腊数学的主要来源，而许多古希腊时期的著作也正是通过它们的阿拉伯文译本才得以流传下来．在上述漫长而有效的翻译时期之后，阿拉伯数学出现了一个创造性的活跃时期．阿拉伯人不仅继承了古典科学遗产，而且使之适合自己的特殊需要和思想方法．他们吸取和保存了希腊和印度数学的精华，加上他们自己的创造性劳动，建立起独具风格的阿拉伯数学．他们的贡献为世界数学宝库增添了光彩．阿拉伯人引进了印度数字及其记数法，利用古代数学方法广泛地解决了一系列计算，特别是天文计算问题．他们的近似计算达到了很高的精确度．在代数学方面，他们建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的几何解法，并把代数学明确地定义为 解方程的科学 ．他们的工作为代数学的发展提供了方向．在三角学方面，他们引进了几种新的三角函数，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函数表．更重要的是，三角学通过他们的工作开始脱离天文学而独立．阿拉伯人为证明欧几里得第五公设作过多次尝试，推进了平行线理论的研究．阿拉伯的数学著作具有自己的风格．许多著作十分注意证明的论据，材料的系统安排和叙述的清晰性．大量书籍中都会见到具有东方民族特点的丰富有趣的例题和习题，这些问题往往具有十分新颖的实际内容．
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发布时间：2017-11-22 20:14:45抽象代数学代数学与拓扑学是现代数学的两大部门．它们构成现代数学的基础与核心．没有代数学和拓扑学，现代数学(除了那些较为孤立的、相对地讲不太重要的学科)可以说寸步难行．抽象代数学或近世代数学是在20世纪初发展起来的．1930 1931年范 德 瓦尔登(B．L．vander Waerden，1903 )的《近世代数学》(Moderne Algebra)一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流，不久之后也就理所当然地把 抽象 及 近世 的帽子甩掉，堂尔皇之成为代数的正统．范 德 瓦尔登的书至今仍然是代数学的模式．它是根据德国女数学家E．诺特(E．Noether，1882 1935)和德国数学家阿廷(E．Artin，1898 1962)的讲义编写而成，在精神上基本来源于他们两位，特别是诺特，被公认为 近世代数学之母 ．在诺特之前，不少大数学家都对近世代数学有过这样或那样的贡献，但是这种与经典代数学迥然不同的思想主要来源于戴德金和希尔伯特，戴德金不仅引进大多数抽象代数观念 如理想、模、环、格等，而且初步研究它们的结构及分类，而希尔伯特的抽象思维方式及公理方法则对现代整个数学都有举足轻重的影响．抽象代数学的研究对象与研究目标与经典代数学有着根本的不同：经典代数学的主要目标是求解代数方程和代数方程组，而抽象代数学的目标则是研究具有代数结构的集合的性质，刻划它们并加以分类，这些对象是用公理定义的．1．域论从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算 加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数)．所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是城．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．有没有有限多个元素的域呢？1830年伽罗瓦已知有有限多个元素的域(后来被称为伽罗瓦域)，其元素被称为伽罗瓦虚数，它们满足pa＝0，其中p是一个素数，p称为域的特征．伽罗瓦曾具体证明，在一个特征为p的伽罗瓦域中，元素个数是p的一个幂．如在当时的情况一样，伽罗瓦所作的一切都是有具体表示的．到19世纪末，人们知道其他域的例子还有有理函数域及代数函数域．从整体结构上对域进行考察始自戴德金及克罗内克对代数数域的研究(从1855年起)．但抽象域的观念则来自德国数学家韦伯(H．Weber，1842 1913)，他的思想来自抽象群的观念．后来美国数学家狄克逊(L．E．Dickson，1874 1954)及亨廷顿(E．V．Huntington，1874 1952)给出域的独立的公理系统．在韦伯的影响下，德国数学家施泰尼茨(E．Steinitz，1871 1928)在1910年发表《域的代数理论》一文，为抽象域论奠定了基础．他把域分为两种类型：一种是特征为p的域，也即对所有元素a满足pa＝0的域，它们一定包含最小的城(称为素域)，最小的域一定是只含p个元素的伽罗瓦域．另一种是不存在这种p的域，称为特征0，其素域一定是有理数域．不管域属于哪一种类型，任何域均可由素域添加一些新元素 扩张 而成．所以域的根本问题是研究域的扩张．他对扩张进行了分类，其中主要的一类是添加系数在原域中的多项式的根后所得的扩张(代数扩张)．当一个域通过代数扩张不能再扩大时称为代数封闭域．施泰尼茨证明，每个域均有唯一的代数封闭域．特别他还对特征p一般域胁许多特殊性质如不可分性、不完全性进行研究．关于抽象有限域，已经有了相当完整的结果：1893年美国数学家莫尔(E．H．Moore，1862 1932)证明，任何一有限域必定与某一个伽罗瓦域同构．反过来，对于任意素数p和正整数a，必定存在唯一一个伽罗瓦域，具有pa个元素．有限域理论在数论、编码理论、组合理论及数理统计等方面有着许多应用．在域论中引进p进域是一个重大成就．德国数学家亨泽尔(K．Hensel，1861 1941)在1908年出版的《代数数论》(Theorie der algebraischen Zahlen)中系统阐述了p进数，他对这种数规定了加、减、乘、除四种基本运算，构成一个域称p进域，而它是有理数域的一个完备化，如同实数域一样．但是与实数域性质的一个很大的不同是实数域具有阿基米德性质，也就是对任何两个实数a，b总存在一个正整数n，使na＞b．p进域虽然也有一个自然的顺序，但却没有阿基米德性质．pˉ进数域是一种 局部 域，在它里面也可定义整数及代数数，它的建立大大有助于数论的发展．亨泽尔之后，抽象赋值论得到发展，在代数数论及代数几何学上有着重要应用．抽象理论的建立不仅使已有的零散知识系统化，而且有助于许多问题的解决，1927年阿廷解决希尔伯特第17问题就是靠他引进抽象的实域(他称为形式实域)．实域k是把实数域的一个特性抽象化：即-1不能表示为k中元素的平方和．通过这个概念，他证明 任何正定有理函数都可表示为有理函数平方和 ．2．环论环的概念原始雏型是整数集合．它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素．抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广 代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生．戴德金在1871年将理想数抽象化成 理想 概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环．这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去．环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广．这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现．他的目的是为了扩张用处很大的复数．它是第一个 超复数系 也是第一个乘法不交换的线性结合代数．它可以看成是实数域上的四元代数．不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数．其后各种 超复数 相继出现．1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)．1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)．1878年弗洛宾尼乌斯(F．G．Frobenius，1849 1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数．1881年小皮尔斯也独立得到证明．1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数．可见实数域及复数域具有独特的性质．关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯(B．Peirce，1809 1880)发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个．他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础．1898年、嘉当(E．Cartan)在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林(T．Molien，1861 1941)征明，复数域上维数 2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构．线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本(J．HM．Wedderburn，1882 1948)得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和．单代数可表为域上可除代数的矩阵代数．这样结合代数就归结为可除代数的研究．可除代数有着以下的结果．1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即伽罗瓦域．当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环．20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善．从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的．1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构定理．对于半单环的分类，雅可布孙(N.Jacobson，1910 )创立了他的结构理论．他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元．对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究．而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫(1902 1984)及霍普金斯(C．H opkins)证明阿廷环都是诺特环．对于诺特环，却长期没有相应的结构理论．一直到1958年英国数学家戈尔迪(A．W．Gold－ie)才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究．与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环．近来环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进．环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论．1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论．环这个词首先见于希尔伯特的数论报告．代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理．在本世纪初英国数学家腊斯克(E．Lasker，1868 1941)及麦考莱(F．S．Macaulay，1862 1937)对于多项式环得出分解定理．对于交换环的一般研究来源于E．诺特．她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W．Krull，1899 1971)给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环．四十年代，薛华荔、柯恩(I．S．Cohen，1917 1955)及查瑞斯基(O．Zariski，1899 1986)对局部环论进行了系统的研究．3．群论19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据．当时主要的定理是由挪威数学家西洛(L．Sylow，1832 1918)在 的．而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的．后由他的学生舒尔(I．Schur，1875 1941)所发展，成为研究群论不可缺少的工具．所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F上的n n可逆矩阵相对应．在英国数学家伯恩塞德(W．Burnside，1852 1927)的经典著作《有限阶群论》(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已经进行综述并给出应用．对于无穷阶的离散群，也有一些重要的研究，其中重要的是与数理逻辑有关的 字的问题 ，即两个符号序列何时相等，对于有限生成的具有有限个关系式的群，1955年左右苏联数学家诺维科夫( C Hовиков，1901 1975)、美国数学家布里顿(J．L．Britton)和布恩(W．Boone，1920 1983)证明一般的字的问题是不可解的，也就是不存在一个普遍的算法来判定两个字是否相等，但是另一方面德国数学家马格努斯(W．Magnus，1907 )在1932年解决一个关系式的有限生成群的字的问题．另一个重要的问题是伯恩赛德问题，他问一个有限生成的群如果其所有元素都是有限阶的，该群是否有限，这个问题一直到1964年由前苏联数学家考斯特利金(А．И．Кострикин，1929 )举出例子而得出否定的回答．另外还有一个狭义的伯恩赛德猜想，即有限生成群当所有元素x满足xn＝0是有限群，现在知道当n＝2，3，4，6时，狭义伯恩赛德猜想成立，但如果n相当大，诺维科夫和布里顿等人也举出反例．
