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发布时间：2017-11-22 19:18:52希腊后期的数学希腊后期的数学一般指公元前146年罗马灭亡希腊以后的数学．由此，希腊本土的文化逐渐退居次要地位，科学中心开始转移到埃及的亚历山大里亚城，成为新的希腊文化渊薮．由于亚历山大里亚的学者继续不断地发明、创造，推动了数学的发展．以下几位数学家的工作是值得提及的．在希腊后期，虽然对欧几里得《几何原本》没有作出根本性改革，但也作了很多添补工作．对此，首先作出贡献的是海伦．海伦(Heron，约公元60年) 著《关于测量仪》(Diopt－ra)一书，其中提出了确定罗马和亚历山大之间的时差问题的一个较复杂的方法，并用这种仪器观测两地的月食．海伦的著作主要是由几何学、应用几何学、应用机械学合编成的一部百科全书性质的书籍---《几何》．在这部著作中，阐述了象测量仪一类器具的使用方法．他还注释了欧几里得的著作以及撰写有关面积和体积的书籍，但其名著是《测量术》．这部著作分三篇，第一篇是面积的计算；第二篇是体积的计算；第三篇是解决面积和体积的有关比例问题．第一篇是最重要的篇章，其中给出已知三角形边长，求三角形面积的公式，即 海伦公式 ．海伦是通过具体的三角形推出此公式的，首先假定三角形的边长分别是13，14，15．海伦给出二种方法计算，其一是利用三角形的高来求面积，其二是不求出高，利用三边求面积，他按如下步骤计算．(1)将三边长相加 13＋14＋15＝42．(2)取和的一半 42 2=21．(4)求积、开方 21 8 7 6＝7056，此三角形的面积是84．如上步骤，可写成如下公式：(△表示三角形面积，a、b、c为三边长，这就是著名的海伦公式．德国数学家康托尔(M．B．Cantor， 1829---1920)曾指出，上述公式在海伦的原典中有明确记载．但是，根据阿拉伯文献记载，阿基米德已经知道这个公式，是海伦利用三角形的内切圆征明了此公式．三角学在这个时期有了进一步发展．虽然人们对这门学科本身的兴趣在衰退，但逐渐成了其他学科，尤其是天文学的辅助学科．三角学这门科学是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的．很可能埃及人早已发现三角形的不同元素之间具有某种关联，但首先看到有必要建立三角形的边与角之间的精确关系的，仍是希腊人．三角学在西方的最早的奠基人是希腊的希帕霍斯(Hippa－rchus，？---公元前127以后)．他是古希腊的天文学家．为了天文观测的需要，作了一个和现今三角函数表相仿的 弦表 ，相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这份表没有保存下来．继承和发展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文学的集大成者托勒密(ptolemy，约100---约170)．他撰写一部天文学著作，原名为《数学汇编》，后来译成阿拉伯文，再转译成拉丁文，变成Almagest的书名，意为《天文集》，这是一部主张 日心说 的著作．托勒密在天文学上的研究，试图建立能精确确定某些关系的规则，正是为了改善天文计算为目的，三角学才应运而生．因此，球面三角学的研究先于平面三角学．长度．由于弧的大小是它所对之角的量度，所以，显然在图3．21中弦2 (即在弧上对着角2 所张弦的长度)和我们所说的sin 之间存在等价可以推测，托勒密的方法相当复杂，不妨简述如下．托勒密首先认识到，确定不同角度的弦相当于如何设法解决用圆的直径长度表示圆内接正多边形的边长问题．值此，他把圆周分成360等份，即360度．直径则被分成120等份，使用60进位分法，实际上也推广到分数，并使用了等分、分、秒(partes minutoe，primoe，secundoe)等名称．这样就能用直径上许多等份来表示圆弧上对任一圆心角所张弦的长度．这乃是角的弦．托勒密为扩充他的表，利用了人们熟知的关系式．从图3．22可以看出：(chord2 )2＋ chord(180 -2 )2＝AC2＋AB2＝BC2，即1202．sin2 ＋cos2 ＝1．托勒密进一步建立chord( － )的表示式，即 sin( － )公式，托勒密的具体作法可表述为：在直径AD上作一半圆，B和C是半圆上的两点，如图3．23．显然有AC=chord l，AB＝chord 2，BC＝chord( 1－ 2)，BD=chord(180 － 2)，CD=chord(180 － 1)．从定理表达式AC BD=BC AD+ AB CD或 BC AD＝AC BD- AB CD亦即[chord( - )] [chord180 ]＝(chord 1) [chord(180 - 2)]－[chord(180 － 1)]，可得出sin(A-B)的形式．为了确立半角公式，托勒密以AB为直径作一圆，画出两相等的弦AD CB＋CD AB＝AC BD，即 AD2＋CD AB＝BD2=AB2-AD2．因此 2AD2＝AB2-AB CD，利用以上公式，托勒密求出有关角的正弦值，进行造表．在第二篇中，托勒密研究了与地球球面有关的知识．在第三、四、五篇中，利用本轮解释天文学的地心学说．在第四篇中，提出了测量学的三点问题的解：确定这样的点，使这一点与给定的三个点中每两点的连线所成之角分别为给定的角．在第六篇中，提出了日、月蚀的理论．在第七、八篇中，含有1028个恒星目录．其余几篇是研究行星的．《天文集》一书，在哥白尼(N．Copernicus，1473---1543)之名著《关于天体的运转》(Derevolutionibusorbium Caelestium)成书前，一直是标准的天文学著作．托勒密曾怀疑过欧几里得平行公设，试图利用《几何原本》中的其它公理和公设推出第五公设，使之去掉欧几里得的一系列原始假定，但未能成功．几乎在同一时期，希腊学者门纳劳斯(Menelaus of Ale－xandria，进一步研究了球面三角，并著《球面论》(Sphaeri－ca)，着重讨论球面三角形的几何性质．在托勒密逝世之后，希腊的黄金时代已经过去，希腊数学开始走下坡路．正是在此时，有一些才华出众的学者，又为希腊数学增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亚历山大里亚的帕普斯(Pappus， 300？-350？)和丢番图(Diophantus)，他们的工作推动了希腊后期的数学．帕普斯的主要数学著作是《数学汇编》(MathaematicalCollections)，此书共8篇，只第一、二篇的一部分保存下来了，其余部分都已失传．《数学汇编》一书统一了希腊早期几何学知识，开始进一步探求解决古代三个著名几何难题的方法，并做重要补充，其中包括对立体几何、高次平面曲线和等周问题的详尽处理．按照解题所需的曲线性质，帕普斯进行了分类．他说： 我们已考虑过三种几何学问题．即：平面问题，立体问题，线性问题．那些可以用直线和圆周来解决的问题，都称为平面问题，因为用来解决这类问题的线的起源是在平面内．那些要靠一条或一条以上的圆锥曲线来解决的问题称为立体问题，因为在这些问题的作图中要用到立体图形的面，例如圆锥曲线．还有第三类问题：它们叫做线性问题，因为在这些问题的作图中必须用到不同于刚才所述的线，它们有着不同的并且更复杂的起源，或者它们是由于运动而产生的．属于这类线的是螺旋线或螺线、割圆曲线、蚌线、蔓叶线等等．《数学汇编》中含有两个重要等周问题．即：(1)在所有周长相同的圆弓形中，以半圆为最大．(2)在所有表面积相等的立体中，以面数最多的立体为最大．这部著作中，记载着著名的 帕普斯问题 ，即： 若从任一点作直线与五条具有给定位置的直线在各个给定角度上相交，并且其中三条直线所围之长方体的体积与其余两条直线和一给定直线所围之长方体的体积的比是给定的，那么这一点仍将落在给定位置的曲线上． 笛卡儿曾试图用分析方法解决这一问题，导致其发现了解析几何学的原理．《数学汇编》中的第七篇，含有一著名的定理，现称古尔丁定理．因为，古尔丁(P．Guldin，1577---1643)重新独立发现了这一定理，并给出证明．这个定理是，如果一平面闭曲线图形绕曲线之外但在同一平面内的一轴转动一周，则旋转出来的形体的体积等于曲面面积乘以其重心所转过的圆周．这是有普遍意义的结果，帕普斯没有给出定理的证明．第八篇主要研讨力学，他把物体的重心定义为物体内(并不一定属于物体)的一点，若在那一点把它吊起来，就能使它静止，而不管吊放的位置如何．然后他说明了用何种数学方法来确定这个点．帕普斯还讨论了物体沿斜面移动的问题．《数学汇编》的水平和价值虽然不能与希腊黄金时代的名著相比，但是，它是在希腊数学衰落时的著作，从而展现出它的特殊意义．丢番图的一生，童年生活占1/6，青少年的时代占1/12，然后独身生活占1/7．结婚后过了5年生了一个儿子，儿子比父亲早4年而亡，只活了父亲年龄的一半 ．可由一元一次方程，算出丢番图的一生年龄．即：可得：x=84．丢番图撰写过三部书，其中最著名的是《算术》(Arithmetica)，另外两部，有一部失传，还有一部是《多角数》(Depolygonis numeris)．根据《算术》序文记载，这部著作共有13卷，现存只有卷．此书共解决了189个问题．主要阐述数的理论，但大部分是解决代数问题，这种脱离几何范畴，研究实际问题的方法，为希腊数学增添了异彩．丢番图的《算术》曾被人誉为 过渡代数 ，尤其是把数学从纯粹语言叙述，转为借助于简单的词和某些符号来表达．例如：△Y= △υ s 表示平方，s2KY＝Kυ os 表示立方，s3KYK＝Kυ кυ os 表示立方的立方，s6丢番图还给出了负数幂s－1，s－2， 的表示法，对于各数的和，把各符号简单地排列在一起．如上，他不写12，而是写12个单位．花拉子米也有类似的写法，丢番图曾给出减法用的符号，用来表示．关于乘法、相等、大于、小于符号的建立，主要是阿拉伯人的工作．因此，丢番图的《算术》基本上还是属于文字叙述阶段．丢番图的代数还是原始的，但有了一定的简化符号．丢番图曾给出求解一次方程的方法，即： 若方程两边的未知数的幂相同，但是系数不同，应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止．若在方程的一边或两边有减项，那么应当向两边加上这个项，使两边只有加项．然后需要再一次等量减等量，直到得出未知数等于某个数为止． 总之，丢番图施用了 合并同类项 ， 移项 ， 两边除以未知数的系数 ．但他尽量避免除法运算，而用重复的减法代替．至于二次方程，他总是算出一个正根，其解法没有保存下来，不可详考．丢番图在解ax2＋c＝y2，bx＋c＝y2等类型的不定方程时显示出了他的卓越才能．每题都用其特殊方法解决，没有给出一般解法，即使类型相同的题目，解法也不同．正如德国数学史家韩克尔(Hermann Hankel， 1839---1873)说： 近代数学家研究了丢番图100个题后，去解101个题，仍然感到困难．丢番图也曾以具体的实例研究不定方程，在《算术》第二卷问题9， 把已知平方数分成两个平方数的和 ，并把16分成两个有理数的平方足方程：x2＋y2＝z2的有理数x，y，z．大数学家费马就是看了丢番图的不定方程，而提出所谓 费马大定理 的．丢番图也曾解过二个或二个以上未知数的联立一次方程组．总之，丢番图是把新思想引入数学的亚历山大数学家的最后代表．他在代数方面做出了重要贡献，被誉为代数学的鼻祖，人们用 解方程的形式，刻画他的年龄 ，这亦是一种后世的深刻怀念吧！前面已经提到希腊数学衰退，在公元最初几个世纪里一直持续着．当丢番图去世后，到了公元5世纪时，希腊数学到达了衰落的顶点．当时罗马已经成为世界之王，她的领土从印度河一直伸展到直布罗陀海峡，从尼罗河直到不列颠海岸．由于罗马人不关心智慧的追求，只需要食物和娱乐(Panem et circenses)，大部分人除此之外皆漠不关心，因此，罗马人在头几个世纪里，他们对数学或科学的发展贡献很小．西撒罗在他的塔斯克来尼恩讲话(Tusculanian Oratio ns)中曾为这个事实而痛惜．他感叹道： 希腊人给予几何学家以最高的荣誉；因此他们中间没有什么东西比数学发展得更光辉灿烂了．但是我们却把这门艺术局限于测量和计算的应用方面．在早期的基督教学者中，也只有少数几个对数学或科学有点兴趣．强烈的宗教热忱，是不鼓励他们对世俗学问追求和探索的．但是，强盛的罗马帝国很快地瓦解，随着凯撒城在公元455年的陷落，罗马的统治权实际上已告结束．在此40年前，即公元415年，亚历山大里亚的著名学者赛翁之女希帕蒂亚(Hypatia，约370---415)惨遭一群基督教暴徒杀害．她是古希腊最后一位数学家，曾协助父亲完成对欧几里得《几何原本》的评注，还评注过丢番图的《算术》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》．她的死标志着通常被称为黑暗时期的那段荒芜时期的开始．希腊古代文明历史结束了，在随后的3个世纪左右，欧洲一直处于科学文化的衰退之中，即黑暗时期．
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发布时间：2017-11-22 19:30:08代数学1494年，意大利数学家帕乔利(L．Pacioli，1445 1509)的《算术、几何、比与比例全书》(Summa de Arithmetica，Geometria，Proportioni et Proportionalita)在威尼斯出版，它是继斐波那契L．Fibonacci)《算盘书》之后第一部内容全面的数学书，包括算术、代数、几何与簿记．书中采用了印度 阿拉伯数码和许多数学符号，对16世纪欧洲数学的发展有重要影响．尤其值得提到的是，书中讨论了三次方程．虽然没有成功，而得出 高于二次的方程不可解 的错误结论，但正是书中的讨论引导了数学家们的进一步研究．16世纪的一些杰出数学家并不相信帕乔利的结论，他们孜孜不倦地探求高于二次的方程解法．实际上，16世纪欧洲代数的发展，便突出地表现为三次和四次方程解法的发现．在此期间，意大利的另一位数学家卡尔达诺(G．Cardano，1501 1576)也在研究三次方程解法，但未成功．1539年，他恳切要求塔尔塔利亚把解法告诉他，并发誓保密，塔尔塔利亚满足了他的要求，不过没有证明．卡尔达诺克服了很大困难，找到了证明．他大概觉得没有保密的必要，便在1545年发表的《大术》(Ars(G．Cardano1501 1576)Magna)中公布了三次方程解法．尽管卡尔达诺写明了方法的来源，但失信行为还是激怒了塔尔塔利亚，受到他的强烈谴责．由于《大术》的影响，三次方程解法被称为 卡尔达诺公式 或 卡当公式 流传开来．卡尔达诺公布的解法可简述如下：方程x3＋px=q(p，q为正数)． (1)卡尔达诺以方程x3＋6x＝20为例说明这一方法，他得到的解是x=过同样的程序得到他还求出x3＋px＋q＝0和x3＋q＝px(p，q为正数)的公式解，就是说他已经能解任何形式的三次方程了．毫无疑问，这里包含了塔尔塔利亚的工作．但需要说明的是，他们像当时其他数学家一样，解方程只求正根，所以解法还是不完善的．管会受到多大的良心的责备 ，把这两个根相乘，会得25－(-15)＝40．于是他写道： 算术就是这样神秘地搞下去的，它的目标，正如常言所说，是又精致又不中用的． 他既承认负数有平方根，又怀疑它的合法性，因此称它为 诡变量 ．但不管怎样，虚数毕竟在卡尔达诺那里诞生了．他还进一步指出，方程(指实系数方程)的虚根是成对出现的．三次方程成功地解出之后，卡尔达诺的学生费拉里(L．Ferrari，1522 1565)受到启发，很快解出了四次方程，解法也发表在卡尔达诺《大术》中．下面用现代符号表出．设方程为x4＋bx3+cx2+dx+e＝0． (4)移项，得x4＋bx3=-cx2-dx-e，右边为x的二次三项式，若判别式为0，则可配成x的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y0，代入(5)，由于两边都是x的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于x的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．在卡尔达诺之后，韦达对三次方程和四次方程解法作了进一步改进．1591年发表的《分析术引论》(Inartemanalyticemisagoge)中，他是这样解三次方程的：对于 x3+bx2+cx+d=0，结果得到简约三次方程y3＋py＋q＝0．他和卡尔达诺一样，只考虑方程的正根．韦达不仅研究方程解法，还努力寻找方程的根与系数的关系，在《论方程的识别与修正》(Deaequationumrecog－nitoneetemendatjone，写于1591年，出版于1615年)中，他提出了四个定理，后人为了纪念这位大数学家，称之为韦达定理．二次方程的韦达定理是我们经常使用的，就对方程理论作出重要贡献的另一位数学家是笛卡儿．他承认方程的负根，并研究了多项式方程的正根和负根个数的规律，得到著名的笛卡儿符号法则：多项式方程f(x)=0的正根个数等于方程系数的变号次数，或比此数少一正偶数；负根个数等于f(-x)的系数的变号次数，或少于此数一个正偶数．在这里，m重根是看作m个根的．实际上，正根个数和负根个数都可表成n-2p的形式，其中n是f(x)或f(-x)的系数变号次数，p为0，1，2 ，p的取值要使n－2p非负．笛卡儿还研究了方程的根的个数同方程次数的关系，认为n次方程至多有n个根．在讨论三次方程时，他得到如下结论：若一有理系数三次方程有一个有理根，则此方程可表为有理系数因子的乘积．他的另一项重要成果是现今所谓因子定理：f(x)能为(x-a)整除(a＞0)，当且仅当a是f(x)＝0的一个根，所有这些成就都是在笛卡儿《方法论》(DiscoursdelaM thod，1637)的附录《几何》(LaG ometrie)中出现的．除了方程以外，二项式定理的发现也在代数史上占有一席之地．实际上，指数为正整数的二项式定理(即(a＋b)n在n为正整数时的展开式)曾被不同民族多次独立发现．11世纪的中国人贾宪和15世纪的阿拉伯数学家卡西(al－Kāshī)各自得到如下形式的三角形这个三角形特点是，左右两行的数都是1，中间每个数为肩上两数之和．在欧洲，德国数学家阿皮安努斯(P．Apianus，1495 1552)最早给出这个三角形(1527年)，1544年左右，施蒂费尔引入 二项式系数 这个名称，并指出怎样从(1＋a)n-1来计算(1＋a)n．1653年，帕斯卡写成《算术三角形》(Trait dutrianglearithm tique)一书，从上述三角形出发，详细讨论了二项展开式的系数．该书于1665年出版后，影响很大．由于帕斯卡在数学界的威望，人们习惯地称此三角形为帕斯卡三角形．实际上，他的功绩主要是通过组合公式给出了二项式系数，即(a+b)n牛顿(T．Newton，1643 1727)进一步认识到，这个公式不仅适用于指数为正整数的二项展开式，而且当指数为分数或负数时，同样适用．他把二项式定理推广到分指数和负指数的情形，指出这三种形式的二项展开式第1项都是1，后面各项系数及字母指数也具有相同的变化规律：设n，m为正整数，则如果括号里是a-b，则第k＋1项的符号由(－1)k决定．它们的区别只牛顿的这些研究成果，是在17世纪60年代取得的，但直到1676年6月给莱布尼茨的信中，才首次透露．另外，莱布尼茨和日本的关孝和(1642 1708)各自独立地发明了行列式，并建立起关于行列式的初步理论，这也是17世纪的代数成果之一．关孝和是日本传统数学 和算的奠基人．他的贡献还有：发现方程正负根存在的条件及与牛顿迭代法类似的解法，给出圆的径、弧、矢间关系的无穷级数表达式，等等．
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发布时间：2017-11-22 19:07:38巴比伦的数学巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果．一、记数法与进位制一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记数的．他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字．他们用垂直的楔形来表示1，如 ．用末端二个横向楔形表示10，如 ．用记号 表示35．用记号 表示9，后来简化为 ．以上可以看出，巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似．但是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制．这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森开莱(现在的拉山或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是1 4，其后接着写出1 21，再后是2 24，直到最后写的是58 1．这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：1 4＝60＋4＝64=82，1 21=60＋21＝81＝92，58 1=58 60＋1＝3481＝592．应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号．例如，(5 6 3)可表示5 602＋6 60＋3＝18363，也可表 下文来分析、确定．古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的．但据有的材料记载，早期的苏默人是不知道60进位制的．从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很自然的①．二、算术运算由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了．巴比伦人对整数的乘法，采取了 分乘相加 的方法．例如，某数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果．他们还造出了一些乘法表．(左边是巴比伦人的记号，右边用现代符号表示)巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表．巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题．当方根是整数时，给出了准确的值．对于其它方根，由于采用60进位制，只能是近似值．并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表．巴比伦人也曾给出了求a2＋b型的方根近似公式：数大．到了希腊时期，著名数学家阿基米德(Archi－medes)、海伦(Heron)创造出了平方后比原数小的近似公式．三、代巴比伦人不但具有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代数问题的能力．例如：在赛凯莱(Senkereh)出土的古巴比伦(汉穆拉比王朝时期)的原典AO8862，记载着下面的问题：(用现代语言叙述)一块长方形土地面积加上长与宽之差为3.3①(即183)，而长与宽之和为27，这块地的长、宽、面积各几何？(1)古巴比伦人的解法：(按60进制计算)27＋3.3=3.302＋27=2929 2＝14.3014；30 14；30＝3.30；153.30；15-3.30＝0；150；15的平方根是0；3014；30＋0；30=15 (长)14；30-0；30=14因为原来是将27加上2，现在应从14减2，则宽是14－2= 12故得到，15 12＝3.0(面积)15-2＝133.0＋3＝3.读者可以辨认，以上例题的解法是从6行到29行之间，是用楔形文字书写的．(2)如果用现代的列二元一次方程组的方法解，则很简便．设长为x，宽为y，可列成如下方程组：从AO8862原典的最后一行的结果看出，x＝15，y＝12是满足方程组(1)的解的．在前面解题时，实际上是用新的宽y"代替原宽y，即：y"=y+2，y=y"-2．使用如上这种代换方法，使问题简单化了．代换后，可得到新的二元一次方程组：把方程组(2)的第1式加到方程组(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地写着)27+3.3=3.302+27＝29之后，继续解方程组(2)．从上边的具体问题求解中，我们可以悟出解方程组的一般方法，用现代符号表示，可谓：其解为：巴比伦人求解的各个步骤是符合解方程组的一般方法的，但是，他们没有给出求解的一般公式．在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由两正方形并组成一个面积为1000，一正方形边为另一正方形边的巴比伦人是按如下方法求解的：(用现代符号表示)设两个正方形边长分别为x，y．得到一个正整数解为：x＝30．以上说明巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算术方法求解．巴比伦人对简单的三次和四次方程也求解过．例如在原典中有这样的题目：一个立方体，其体积为长、宽、高分别为x、y、z，体积为V，实际上是求解方程组解此方程组，涉及算立方根问题，巴比伦人用数表来求解(见算术运算部分的数表)．四、几何在古巴比伦时期，常常把几何问题化为代数问题来解决．在他们心目中，几何似乎不占有重要位置．但是，在20世纪中叶布尔昂(E．M．Buuins)博士和鲁达(M．Rutten)撰写的《斯萨数学书》(Textes math matiques de Suse，M moiresMission arch ol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯萨出土的古巴比伦的楔形文字原典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，说明古巴比伦人对几何问题也有一定的兴趣．例如，在拉尔萨(Larsa)出土的古巴比伦原典VAT8512中，有下面的问题(用现代符号和语言叙述)．已知底边b＝30的三角形，由平行于底的直线把其分成两部分，即高分别为h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面积F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割线长(x)．由以上条件，可建立如下关系式：由图2．3可知，比例式h2∶h1=x∶(b-x) (5)成立．根据以上条件，可解出x，即：由上可知，巴比伦人建立的关于x，h1，h2的关系式是正确的．但是，还没有理由(证据)说明以上是一种纯粹代数的推演．数学史家尤伯尔(P．Huber)对(4)式做了如下解释(Isis Vol46，p104)：如果在三角形一边加一个长为h1＋h2的长方形，拼成一个上、下底边长分别为c和a＝c＋b的梯形，延长割线x，把此梯形分成两部分，如图2．4其面积差为：(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．的面积分成二等分z，并给出(参考MKT I，p131)可得到(6)式的证明：按照尤伯尔的解释，以上的解法思路是几何学的思想，而不是代数的．巴比伦人很早就知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)，并能应用此定理解决具体的、比较简单的问题，在古巴比伦的数学原典中有记载，并使用了1500年之久，直到赛莱乌科斯王朝时代(公元前310年以后)的著作中，仍有记载．巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积，他们用高乘以两底面积和的一半的方法进行计算．
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发布时间：2017-11-22 19:24:29阿拉伯数学是指7世纪伊斯兰教兴起后，崛起于阿拉伯半岛，建立在横跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国统治下各民族所开创的数学．通常所谓伊斯兰国家的数学或中亚细亚数学也是指阿拉伯数学．在伊斯兰国家里，科学文化的发展是许多民族的学者共同劳动的结果，数学也不例外．他们是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、犹太人和阿拉伯人，等等．他们大都是伊斯兰教徒．讲到这一时期这一地区的数学，没有很恰当的词语来表述，由于当时的数学著作都是用阿拉伯文撰写的，一般就统称为阿拉伯数学．上述各民族的学者有时也统称为阿拉伯人．公元6世纪以前，阿拉伯人过着游牧部落生活．当时阿拉伯半岛盛行多神崇拜，各部落间战争连绵不断．由于东西商路改道，社会经济日趋衰落，要求改变这种社会状况和实现政治统一，成为各部落的共同愿望．伊斯兰教的创始人默罕穆德(Mvhammad，约570 632)，出生于阿拉伯半岛麦加城的一个没落贵族家庭，早年曾随商队到过叙利亚等地，后来回到麦加城经商．公元610年，在麦加开始创传以信仰一神为中心的伊斯兰教．后因遭到多神教徒的反对和迫害，于公元622年秘密出走麦地那．他在那里组织了一个接受伊斯兰教的阿拉伯部落联盟，号召所有伊斯兰教徒 穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血缘的狭隘界限以共同的信仰为纽带团结起来．伊斯兰教就这样在阿拉伯半岛创立并迅速传播开去，成为团结阿拉伯人的一种力量．阿拉伯部落统一后，形成了一个威势很大的军事力量．在 与异教斗争 的神圣口号下，迅速向东方和西方的富饶国家入侵，并在被征服的国家里普及了伊斯兰教．不到一个世纪，阿拉伯人就占领并统治了几乎整个比利牛斯半岛、所有地中海沿岸的非洲国家、近东地区、高加索和中亚细亚，形成了一个横跨欧、亚、非三洲的强大的阿拉伯帝国．我国历史上称之为大食国．由于哈利发政权的对立斗争，在8世纪中叶，大食国分裂为东大食和西大食．东大食的首都是巴格达，西大食的首都是科尔多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之间，基督教十字军东侵，把穆斯林逐出圣地．13世纪初，成吉思汗率蒙古部队西征．13世纪中叶，成吉思汗之孙旭烈兀再次率兵西征，占领了原来阿拉伯哈利发在亚洲的所有领土，创立了伊儿汗国．蒙古人征服了这些伊斯兰国家后不久，他们自己也都皈依了伊斯兰教．到了14、15世纪，在中亚又出现了另一个蒙古帝国 帖木耳国．12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去了他们在欧洲的立足点．在阿拉伯帝国的统治下，被征服的民族很快转向伊斯兰教．同时，阿拉伯语很快成为各国通行的语言，在知识界成为学术交流的工具．这和中世纪西方各国把拉丁语作为通用语言一样．阿拉伯人和其它民族的人民共同创造了新的、别具一格的文化．当时欧洲正处在漫长的黑暗时期，阿拉伯世界的科学文化却后来居上，成为当时的人类科学文化中心之一．8世纪中叶至9世纪初，出现了几位热心提倡科学的哈利发：曼苏尔(al－Mansur，712 775)，阿伦 赖世德(Hārūnar－Rashid， 765 809)，马蒙(al－Mamun， 786 833)等．在他们的大力支持和鼓励下，设立学校、图书馆和观象台．在东阿拉伯形成了以巴格达为首的学术中心．哈利发马蒙在巴格达创办了著名的 智慧馆 (Bayt al－Hikmah)．这是自公元前 3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关，除用作翻译馆外，还起到科学院和公共图书馆的作用，它还附设一座天文台．在这里，大量的波斯、希腊和印度的古典著作被系统地译为阿拉伯文．哈利发还组织力量对这些著作进行广泛而深入的研究．就这样，东西方的文华精华被融合在一起，出现了一个学术繁荣时期．阿拉伯的数学研究就从这里开始．从8世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期．由于阿拉伯人能够控制或取得拜占庭帝国、埃及、叙利亚、波斯及印度诸国的人才和文化，所以他们得以接触几乎所有的古代重要著作．欧几里得(Euclid，约公元前330 前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287 前212)、阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262 前190)、海伦(Heron ofAlexandria，约62年)、托勒密(Ptolemy，约100 约170)、丢番图(Diophantus，250)、以及婆罗摩笈多(Brahmagupta，598 665)等著名学者的数学和天文学著作都被译成阿拉伯文．在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证、勘误、增补和注释．这样一来，大量的古代科学遗产获得了新生．已经荒废了几个世纪的古代学者的著作又重新成为人们手头的教材．当古希腊的原著失传之后，这些阿拉伯文译本就成为后来欧洲人了解古希腊数学的主要来源，而许多古希腊时期的著作也正是通过它们的阿拉伯文译本才得以流传下来．在上述漫长而有效的翻译时期之后，阿拉伯数学出现了一个创造性的活跃时期．阿拉伯人不仅继承了古典科学遗产，而且使之适合自己的特殊需要和思想方法．他们吸取和保存了希腊和印度数学的精华，加上他们自己的创造性劳动，建立起独具风格的阿拉伯数学．他们的贡献为世界数学宝库增添了光彩．阿拉伯人引进了印度数字及其记数法，利用古代数学方法广泛地解决了一系列计算，特别是天文计算问题．他们的近似计算达到了很高的精确度．在代数学方面，他们建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的几何解法，并把代数学明确地定义为 解方程的科学 ．他们的工作为代数学的发展提供了方向．在三角学方面，他们引进了几种新的三角函数，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函数表．更重要的是，三角学通过他们的工作开始脱离天文学而独立．阿拉伯人为证明欧几里得第五公设作过多次尝试，推进了平行线理论的研究．阿拉伯的数学著作具有自己的风格．许多著作十分注意证明的论据，材料的系统安排和叙述的清晰性．大量书籍中都会见到具有东方民族特点的丰富有趣的例题和习题，这些问题往往具有十分新颖的实际内容．
