解放军文职招聘考试数学符号-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育
发布时间：2017-11-22 19:29:41数学符号数学符号的发明，是数学史尤其是代数史上的大事．由于采用了较好的符号体系，使16世纪的代数发展为符号代数，从而进入一个新纪元．法国数学家许凯(N．Chuquet，1445？ 1500？)在1484年写成的《算术三篇》(Tripartyenla Sciencedes Nombres)中，使用了一些缩写符号，如用P表示加法，用m表示减法．至于 ＋ 号和 － 号，最早出现在德国数学家维德曼(J．Widman，约1460 约1499)写的《商业速算法》(Behend und hnpsch Rechnung uff allen Kauffmanschafften，1489)中．他用 ＋ 表示超过，用 － 表示不足．到1514年，荷兰的赫克(Hoecke)首次用 ＋ 表示加法，用 - 表示减法．1544年，德国数学家施蒂费尔(M．Stifel，1487 1567)在《整数算术》(Arithmetica Integra)中正式用 ＋ 和 － 表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用．以符号 代表乘是英国数学家奥特雷德(W．Oughtred，575 1660)首创的．他于1631年出版的《数学之钥》(Clavis Mathematicae)中引入这种记法．但莱布尼茨合理地加以反对，他说： 我不喜欢把 作为乘法记号，因为它容易与x混用． 于是，他发明了另一种乘号 ．1659年，世界上第一个除号 诞生在瑞士拉恩(Rahn)的《代数》(Algebra)中．至此，四则运算符号齐备了，当然还远未达到被各国普遍采用的程度．现代使用的幂指数记法和根号，都是法国大数学家笛卡儿发明的．早在16世纪， 便出现在一些欧洲数学家的著作中了．1637年出版的《方法论》(DiscoursdelaM thode)中，笛卡儿第一次把等号和不等号的发明权属于英国人．1557年，数学家雷科德(R．Recorde，1510 1558)在他的《智慧的激励》(The Whetstone of Witte)一书中首先把 ＝ 作为等号，并解释说： 最相像的两件东西是两条平行线，所以这两条线应该用来表示相等． 不等号 ＞ 和 ＜ 是同时问世的，哈里奥特(T．Harriot，1560 1621)在1631年出版的《实用分析技术》(Ar－tisAnalyticaePraxis)一书中引入这两个符号，并明确写道： a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量．∵ 和 虽然是一对姐妹符号，但它们诞生的时间却差了一个多世纪．早在1659年，拉恩便在《代数》中用 表示 所以 了．而表示因为的 ∵ 直到1805年才在英国出现．大括号{ }是法国数学家韦达(F．Vieta，1540 1603)发明的，小括号( )最早出现在17世纪吉拉尔(A．Girard，1595 1632)的著作中．高等数学中经常使用的无穷大符号 也是17世纪出现的，它是多产的英国数学家沃利斯(J．Wallis，1616 1703)的产物之一．应该强调指出，对符号代数贡献最大的数学家是韦达．他是第一个系统使用字母的人，他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且用字母表示系数．他通常以辅音字母表示已知量，以元音字母表示未知量．这种用字母代替数的作法无疑是代数的精髓．韦达还揭示了代数和算术的本质区别，他说代数是施行于事物的 类的运算 ，而算术则是用来确定数目的 数的运算 ．这样，代数就成为研究一般类型的学问，从而奠定了代数学的基础．在这种学科中，用字母表示数字的好处是显而易见的．后来，笛卡儿又对韦达使用的字母作了改进，他用字母表中前面的字母(如a，b，c)表示已知量，未后的字母(如x，y，z)表示未知量，成为现在的习惯用法．除了代数符号以外，16，17世纪还出现了大量几何符号和三角符号．1634年，在法国数学家埃里冈(P．H rigone，？ 约1643)的著作中，引用了 (角)、△(三角形)、□(正方形)、 (长方形)、 (平行四边形)、⊙(圆)、 (垂直)、＝(平行)等几何符号．由于欧洲已普遍使用 = 作为等号，所以奥特里德于1667年改用 ∥ 表示平行．至于用 表示平行四边形，则是19世纪的事了．相似和全等符号是莱布尼茨发明的，他在1679年的著作中，用a～b表示a和b相似，用ABC CDA表示两个三角形全等．到18世纪，全等符号才改为 ≌ ．三角符号中的 (度)、 (分)、 (秒)是卡拉穆埃尔(J．Caramuel，1606 1682)在1670年首先使用的．1626年，吉拉尔发明了正切符号tan和正割符号sec．1634年，正弦符号sin在发明大量几何符号的埃里冈著作中诞生了．余弦符号co和余切符号cot则出现较晚，直到1674年才由穆尔(J．Moore)引入．
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发布时间：2017-11-22 20:27:04计算数学长期以来，数学一直以数值计算为其最主要的任务，大量数学研究的目的无非是建立算法并不断加以改进，使之算得准、算得快、算得容易、方便，得出令人满意的结果．20世纪计算机的出现，根本改变了计算数学这一分支，对数学及其他科学也产生革命性的影响．1947年冯 诺伊曼等人发表的 高阶矩阵的数值求逆 标志着数值分析这门学科的诞生．其目的不仅要建立优秀的算法，特别是适用于计算机的程序，而且要对算法进行比较和分析，特别是对误差分析稳定性收敛速度以及计算量、存贮量等要进行细致的研究，其后产生一系列的有效方法，如乌拉姆(S．Ulam， 1909 1984)等创造的蒙特卡罗法以及有限元法、稀疏矩阵、样条函数法、快速傅里叶变换(1965)等一系列行之有效的方法．各种数值代数、数值积分以及解各种方程的方法也有许多改进及研究．针对具体问题也产生了计算力学、计算流体力学、计算物理学、计算化学等等新兴分支，成为与实验互补的科研手段．60年代初在基础研究方面还产生了计算复杂性理论，提出一系列基本的与计算有关的理论问题．数学物理学的问题大都化成微分方程，对于这些方程的分析方法及数值方法的发展简述如下：1．常微分方程从天体力学的三体问题到各种非线性自由振动及受迫振动问题，许多实际问题都转化为解常微分方程的问题．一般来讲，常微分方程，特别是非线性常微分方程，找不到精确的解析解，甚至在有解析解时，也不能由常用的函数表出，因此，从19世纪晚期，人们就致力于寻找好的求近似解析解的方法，而第二次世界大战以后，更促进各种数值方法的改进及发展．最早的近似方法是庞加莱所发展起来的摄动方法，现在已成为数学的一分支 摄动理论．最早它是瑞典天文学家林德斯泰特(Lindstedt)在1883年为解天体力学一个复杂问题提出来的．为了避免长期项的出现，庞加莱在1892年对于方程严格证明存在定理，从而使该方法合法化．而对于非线性振动中常见的方程(其中f是t的周期函数， 是小参数)，则由弗瑞德利克斯等人(1942 1943)及斯托克(J．J．Stoker， 1905 )于1950年所解决．同时苏联克雷洛夫(H．M．Крылов，1879 1955)及博戈留波夫(H．H．Боголюбов，1909 1991)在1943年发展了范德波(Van der Pol)于1926年首创的方法，发展了一套平均法，后来在研究非线性振动时常用．另外一种所谓调和均衡法首先由达芬(G．Duffing)在1918年提出，应用也很广泛．从20年代起，问题更集中于奇异摄动问题(如小参数ε出现于高阶导数项和大参数问题)．最早是杰夫瑞斯(H．Jeffreys， 1891 )从1924年起发表四篇论文研究马丢方程解法，其后温采尔(G．Wentzel，1898 )、克拉默斯(H．Kramers，1894 1952)、布理鲁因(L.Brillouin，1889 1969)独立发展成解薛定谔方程的W K B方法．另外还有兰格(R.E.Langer，1894 )在1931年提出并由奥立佛(Oliver)发展起的LO方法，对于空气动力学许多问题中产生的强奇异性，1949年由莱特希尔(M．S．Lighthill，1924 )引进自变量的非线性变换，使得庞加莱正则摄动方法也能产生有效渐近解，这方法于1953年由郭永怀，(1909 1968)发展后被命名为PLK方法1955年华沙(W．Wasow，1909 )把这个经验方法加以系统化．解常微分方程的数值方法还有不少，应用最广泛的是差分方法．最早可追溯到18世纪，其后有相当大的改进．2．偏微分方程偏微分方程是由物理学、几何学、函数论等提出来要求求解的问题，从18世纪中叶起，二百多年来对于各种类型的方程进行大量的研究，只有到第二次世界大战之后，才有比较系统的研究．但应用问题，特别是非线性问题，仍然是具体问题具体分析，缺乏统一的方法，许多问题发展了有效的数值解法．19世纪以来，研究最多的有波动方程、热传导方程及位势方程，对于弹性力学方程及麦克斯韦方程组也有许多进展，而流体力学方程，特别是有粘性的不可压缩流体纳维尔 斯托克斯方程则有许多困难．进入20世纪以后，一系列新的方程出现了：如边界层方程、薛定谔方程、反应扩散方程等等．求解偏微分方程的过程推动了分析的发展：如傅里叶分析及各种积分变换、复变函数论、变分法、正交函数论、渐近展开、位势理论等等．在求解偏微分方程的近似方法及数值方法当中，较常用的有变分方法、有限差分方法及有限元方法等．变分方法来源于黎曼为解决狄利克雷问题所提出的狄利克雷原理，该原理虽遭魏尔斯特拉斯的批判，但在1900年被希尔伯特恢复其合法性．他的做法是直接求出泛函极值的最小系列，从而解对应的边值问题．希尔伯特的学生黎兹(W．Ritz，1878 1909)在1908年应用希尔伯特的思想提出黎兹方法，他首先把解展成完 小序列来逼近解．对于本征值问题Au＝ u，可以用瑞利商为泛函来通过黎兹方法解决．苏联数学家伽辽金(Б．Г．Галёркин，1871 1945)改变决定系数的方法，可用于更为一般的问题，包括初值问题，这类方法统称黎兹 伽辽金方法．最常用的数值方法是有限差分方法，其历史可追溯到欧拉，它以差商代微商，将微分方程化为差分方程．它适用于各种类型方程．关键问题是收敛性及稳定性问题．1928年，库朗、弗瑞德里克斯及卢伊征明三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为该方法的应用打下基础，第二次世界大战之后，由于计算机的运用，差分方法做为有效的数值方法得到有效的发展．1948年冯 诺伊曼对于无粘性流体的非线性双曲型方程，为避开激波引出的间断性，引进人工粘性项，为此设计差分方法是现代流体力学数值计算主要方法．在论文中他引进稳定性这个十分重要的概念，并给出稳定性的必要条件．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926 )及里希特迈尔(R．D． Richtmyer，1910 )建立了一般差分格式的收敛性及稳定性等价的定理，它对实际计算中误差积累问题有着重要意义．在战后的数值方法中，有限元方法是另一个最常用的方法．它可以看成是变分方法及差分方法有机的结合，其思想可追溯到库朗1943年的论文．1956年起一些工程人员在处理结构工程问题时又独立发现，60年代开始引进连续体的单元剖分，逐步明确有限元法是变分原理加剖分逼近的思想并建立数值分析的理论基础．
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发布时间：2017-11-22 19:25:00代数学公元820年，花拉子米写了一本《代数学》．它的阿拉伯文书名是《ilm al-jabr wa lmuqabalah》．比较流行的一种说法认为现在西文中代数学一词algebra由此书名中的al－jabr脱胎而来．al－jabr原意是 还原 ，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡．muqabalah意即 化简 或 对消 ，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．书名直译应为《还原与对消的科学》．al－jabr译成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra则逐渐成为代数学这门科学的名称．这一名称的起源完全符合代数学本身的特点．代数的基础就是脱离具体数字以一般的形式来考虑算术运算，它的课题首先是提出解方程的变形规则．花拉子米正是以某种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓．《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理．它的条理清楚、通俗易懂．正象花拉子米在序言中所说： 在这本小小的著作里，我所选取的材料是数学中最容易和最有用途的．是人们在处理下列事物中经常需要的：在继承遗产、分配财产、审理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘沟渠等各种场合中， 《代数学》由三部分组成：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分论及各种实用算术问题，最后一部分(也是最大的一部分)列举了大量的关于继承遗产的各种问题．在第一部分里，花拉子米系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法．这些方程由下列三种量构成：根、平方、数．根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数项．《代数学》完全用文字叙述，没有出现任何字母和缩写符号．为了表达方便起见，我们同时用现代的符号来表示这六种方程：1．平方等于根 ax2=bx2．平方等于数 ax2＝c3．根等于数 ax=c4．平方和根等于数 ax2＋bx=c5．平方和数等于根 ax2＋c＝bx6．根和数等于平方 bx＋c＝ax2《代数学》的前六章，依次讨论了上述六种类型方程的解法．例如，第四章有这样一个问题： 一个平方数及其根的十倍等于三十九 ．此问题即方程x2＋10x＝39．花拉子米把求解过程叙述为： 取根数目之半，在这里就是五，然后将它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，开平方得八，再减去根数的一半，即五，余三．这就是根． 用现代的符号表示这一过程，即对于一般方程x2＋px＝q，上述结果相当于给出求根公式在第五章，花拉子米求出了方程x2+21＝10x的两个正根，相当于的结果小于自由项时，开平方是不可能的，此时方程无根．这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负．以上六种类型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形．作者的讲解是如此地详尽和系统，使读者很容易掌握其解法．在这种意义上，花拉子米后来被冠以 代数学之父 的称号．从第七章开始，花拉子米转向方程的根的几何证明．例如，对于方程x2＋10x＝39，花拉子米给出了两种不同的几何证明．第一种证法是在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和形，然后把图形补充为边长为(x＋5)的大正方形(图6．3)．在两种方法中，花拉子米都利用已知方程x2＋10x＝39求出大正方形的面积为64，然后开方，再求出x来．花拉子米的几何证明明显地受希腊几何学的影响，许多证明都可以在欧几里得《几何原本》的第Ⅱ篇中找到原型．花拉子米之后，埃及学者艾布卡米尔(Abū Kāmil，约850 约930)首先继承了他的代数学并使之发扬光大．关于艾布卡米尔的生平，现在知道得很少．据有关传记材料记载，艾布卡米尔是伊斯兰文化全盛时期(9世纪中至11世纪)著名的数学家．他在算术、代数和实用几何方面都有很大贡献．艾布卡米尔的一些数学手稿和译文已经保存下来，其中最重要的一部论著是大约写于公元900年的《代数书》(Kitab fi al-jabr wa l－muqabala)．《代数书》问世后，在很长时间内被广泛利用，在传入西方各国之后产生很大影响，因此在数学史界被认为是艾布卡米尔硕果仅存的著作．《代数书》主要讨论二次方程．艾布卡米尔继承了花拉子米关于二次方程的理论，并使之得到进一步的发展．书中有大量题目出自花拉子米的《代数学》．此外，艾布卡米尔还用相当大的篇幅研究那些不同类型的方程并给出多种解法．花拉子米的《代数学》中列举了40个问题，而艾布卡米尔的《代数书》中共有69个问题．艾布卡米尔是第一个随意使用未知数的高次幂的伊斯兰数学家．在他的著作中，出现了直至x8的各次方幂(x7除外)．他称x3为 立方 ，称x4为 平方平方 ，称x5为 平方平方，根 ，x6 立方立方 ，x8 平方平方平方平方 ．事实上，艾布卡米尔对这些方幂所采用的名称是按指数相加的原则施行的．在《代数书》中，艾布卡米尔用大量篇幅阐述了代数运算法则．包括单项式、二项式及其它各种形式的代数运算．他还提出了求两个二次根式的和与差的一般运算法则：有趣的是，这些公式又多次出现在后世数学家的著作中．例如，在11世纪阿拉伯数学家凯拉吉，印度12世纪数学家婆什迦罗(Bhaskara Ⅱ，1114 1185)，以及意大利著名数学家斐波那契(L．Fibonacci 约1170 约1240以后)的书中都出现了完全一样的公式．艾布卡米尔不仅专门讨论了二次根式的运算法则，而且把这些结果运用到二次方程的理论中去．他所列举的方程，不仅根可以是无理数，而且方程的系数也可以是二次根式．他这样毫无顾忌地使用无理数，在花拉子米之后是绝无仅有的．正因为出现了无理数系数，而使解题过程十分复杂，艾布卡米尔也不得不放弃几何证明．《代数书》中，出现了许多十分高超的解题技巧和复杂的运算过程．艾布卡米尔的代数著作在两个方面比花拉子米的《代数学》有明显的进步．一方面，理论水平有所提高．如前所述，艾布卡米尔不仅对各类方程的解法都指出其任意性，而且还十分注意用代数恒等式来化简方程，他还特别指出了代数恒等式的普遍意义．另一方面，艾布卡米尔的代数学更具有一般性．他引进了大量的繁琐的代数运算(也用文字叙述)，在具无理数系数的方程中，已放弃了几何解法，这无疑是一大进步．艾布卡米尔的《代数书》问世后产生了重要的影响．传入欧洲后对宣传花拉子米的代数学起到很大作用．它的部分内容还被斐波那契收入其《实用几何》(Practica geometriae 1220)中，这是一部专门讨论代数在几何中的应用的著作．继花拉子米、艾布卡米尔之后，另一个对代数学有重要贡献的是11世纪巴格达的学者凯拉吉(al－Karajī卒于1019 1029年间)．凯拉吉以两部数学著作闻名于世．一本是《算术全书》(hisāb al－jummal)，其中有关代数学的章节可以认为是他写于1010年的内容极其丰富的代数著作的序篇．这部代数书的书名是．《发赫里》(ал-Фахри，al-Fakhr )．根据凯拉吉的自述，他在写这本书的过程中，忍受着苛政与暴力的干预，久久未能完成．后来遇到一位有远见的执政者 发赫里(Fakhr al-Mulk)，他是学术的庇护者．在他的支持下凯拉吉才写完了这本书．为了纪念这位恩主，就以他的名字来命名这本书．《发赫里》包括卷头语和两大部分．在卷头语中，凯拉吉阐明了借助于已知量求未知量是代数学这门学科的宗旨．并指出，具有一般性的代数运算法则是求未知量的有力工具．这就进一步明确了解方程是代数学的基本课题．11世纪，阿拉伯学者已经熟悉了丢番图的《算术》书．凯拉吉在《发赫里》中大量地引用《算术》书的内容，他不仅把先辈们关于二次方程的理论网罗殆尽，而且无论在理论还是应用方面都出现了一系列新内容．他引进的代数运算比艾布卡米尔的更丰富、更系统，他所选用的习题比花拉子米甚至丢番图的更多样化．例如，凯拉吉给出了下面关于三次根式运算的关系式：特别引人注意的是，凯拉吉系统地研究了含有三项式的由未知数的任意次幂及其平方所组成的方程，如ax2n+bxn=c，ax2n+c=bxn，bxn+c=ax2n，ax2n+m=bxn+m+cxn．其中a，b，c都是正数．这类方程原则上都能化为二次方程，卡拉吉分别以4次、6次和7次方程为例说明求xn的方法．当然，零解他没有考虑在内．为了求出上述各方程的根，凯拉吉还给出了开任意n次方根的方法．此外，凯拉吉还应用数学归纳法证明了下列求和公式在凯拉吉的著作中，可以发现大量的来源于印度和希腊的材料，也有相当多的内容体现了伊斯兰各民族古老的文化传统．总之，《发赫里》一书由三种文化汇合而成，我们还很难估计出各种文化所占的比例．作为方程学说的代数学，它的发展在波斯数学家奥马海亚姆的著作中达到了新的高度．他在自己的代数著作中，明确地把代数学定义为解方程的科学： 代数学是一门有技巧的科学，它的研究对象是纯粹的数(正有理数)和可度量的量(指几何上的各种量：线、面、体等)．虽然这些数和量是未知的，但可以通过已知的 东西 来确定它们．精通这门科学在于掌握确定算术的和几何的未知量的方法． 奥马海亚姆的这种定义，直到十九世纪末都保持着它的意义．在阿拉伯的代数学文献中，还有大量的不定方程问题．例如，艾布卡米尔就写过专门论述线性不定方程整数解的著作 《算术技术珍品》有三种情形：唯一，无解，多组解．对每一种情形他都给出了具体的例子．值得注意的是，艾布卡米尔所举的6个例子都以中国古代算书《张丘建算经》中 百鸡问题 的形式出现．印度9世纪的数学家也曾研究过 百鸡问题 ，因此，人们猜测， 百鸡问题 是从中国经印度传入阿拉伯国家的．《算术技术珍品》中第1个问题相当于下列方程组艾布卡米尔求出了这个方程组的唯一解是x＝19，y=80，z=1．第5题相当于方程组正整数x要在y＝160时才得到，不符合第一个方程，因此问题无解．第6题是艾布卡米尔关于不定方程的一个最杰出的代表作，相当于下列方程组消去v得或者艾布卡米尔构造了两列整数解．他首先取y＝1，3，5， ；z＝3，6，9， ；u＝2，6，10，由问题的实际背景分析得知以上各未知量应满足y 59，z 54， u 50，由此可得出1443组解．然后，又取y＝2，4，6， ；z=3，6，9， ；u＝4，8，12，并根据题意有y 58，z 51， u 52，从而又得出1233组解，此方程组总共有2676组解．在凯拉吉的《发赫里》中，也出现了一些关于不定方程的问题，其大部分取材于丢番图的《算术》书．这些具有东方数学传统特点的题材是很引人入胜的．例如，有一个题目相当于下列方程组它最初出现在丢番图的《算术》中，后来传到欧洲，在斐波那契的著作中再现．后者对某些系数作了一些变动．《发赫里》中，还出现了形如y2＝ax2＋bx＋c的不定方程，凯拉吉对这种方程进行了一般的讨论．除了一次，二次的方程外，凯拉吉还讨论了高次不定方程．例如，对方程组他设y=mx，z＝nx，则由原方程可得m2-n2=a-b，则问题转化为求两数m，n，使其平方之差等于已知数a－b．而这个问题他又专门进行了研究．此外，凯拉吉还研究了方程x3+y3＝z2，x2－y2＝z3，x2 y3＝z2，x3＋10x2＝z2的整数解和x2-y3＝z2，x3＋y2=z3的分数解等等．阿拉伯代数学也有很大的局限性．首先，阿拉伯人没有引进负数(艾布瓦法的著作中出现了唯一的例外)．为了避免负数，他们对方程进行了细致的分类．解方程过程中，放弃了负根和零根．其次，阿拉伯人没有使用字母或缩写符号，他们的代数著作完全用文字叙述．这两方面都比印度人倒退了一步．
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发布时间：2017-11-22 19:22:28印度数学第一节 综述印度是世界上文化发达最早的地区之一．印度的早期历史分为史前时期(又称前哈拉帕时期，公元前2300年以前)和印度河文明时期(又称哈拉帕时期，公元前2300 公元前1750)．在印度次大陆的大片地域内，均大量发现石器时代晚期的遗址．这些遗址表明，早在公元前6000至3000年，印度居民过着狩猎采集生活．从公元前3500年俾路支最早出现居民点到公元前2300年印度河城市文明的兴起，大体可以分为半游牧、畜牧业发达和地域性村社三个阶段．公元前2300年左右，前哈拉帕文化结束，印度河文明开始．印度河文明是当地居民在特定环境中的卓越创造，至今已发现70多处遗址，最著名的是摩亨卓 达罗(在信德)和哈拉帕(在旁遮普)．摩亨卓 达罗的遗址清楚地显示出城市营建的统一规划．在建筑遗迹和某些遗物如彩陶、雕塑品、贝壳和各种材料作成的印章上刻有一些古代铭文．这些保存完好的古代铭文显示了哈拉帕文化的高度发达，而从贝壳上刻的算术线条可以推断，数学知识的某些积累是哈拉帕文化的成分之一．公元前1750年左右，印度河文明开始衰落．印度最古老的历史文献是印度 雅利安人的作品《吠陀》．《吠陀》所记载的时代称为吠陀时代．在这个时代的前期，印度 雅利安人活动在印度西北部，而在其后期，印度 雅利安人进入恒河中下游地区．在其内部，出现了婆罗门、刹帝利、吠舍、首陀罗四个种姓．不久，部落共同体逐渐过渡到地区性共同体，奴隶制国家开始形成．公元前6至前5世纪，印度东部出现了十六个国家．佛教和耆那教开始成为占有重要地位的两大宗教．公元前327年亚历山大侵入印度，不久即撤退．前325年旃陀罗 笈多推翻难陀王朝，建立了孔雀王朝，几乎在整个印度次大陆建立了中央集权的统治．阿育王是这个王朝最有作为的皇帝，他大力提倡佛教，并向邻国派出传教使团．公元前185年该王朝灭亡，继之而起的是巽伽王朝．公元前150 公元300年，印度次大陆陷于混乱．北印度的笈多王朝(320 540)开始了印度的古典时期，印度的经济、文化空前繁荣．在这一时期产生了很多重要的科学文献，出现了一批著名的天文学著作，其中包括大量的数学知识．6 7世纪，在印度形成了特殊形式的封建主义，种姓制度得到进一步发展．大量的属于最低种姓的贱民 不可接触者 的生活处境十分艰难，这促成了八世纪阿拉伯人入侵信德地区后伊斯兰教的传播．与伊斯兰国家的联系对印度科学的进步有重要意义．7至8世纪印度学者的著作已为阿拉伯哈利发所了解．11世纪初，伽色尼王国的马哈茂德入侵；12世纪后期，古尔王国控制了北印度．1206年，古尔王国驻印度的总督自立为苏丹，建立奴隶王朝，开始了长达300多年的德里苏丹时期．这一时期形成了中央集权的穆斯林政治体系，伊斯兰文化大量引进．在南印度，14世纪出现了两个强国，穆斯林统治的巴赫马尼王国和印度教徒统治的维查耶那加尔王国．1526年巴伯尔率军占领德里，建立莫卧儿帝国．从此，印度分散的教派、分散的村社走上了民族统一的道路，成为当时世界上最富有、最强大的国家之一．在这样复杂的历史条件下，科学的发展在各时期不同程度地受到政治动乱的抑制，但自古以来数学始终是很受重视的科目．相传，佛祖悉达多 乔达摩(即释迦牟尼，公元前623 前544)幼时受传统的婆罗门教育，用八年时间专门学习语文和数学．在印度数学的发展始终与天文学联系在一起．数学著作大都是天文学著作中的某些篇章．最早的数学著作《绳法经》(S．ulvasūtras)出现在吠陀时代，它包含在古代婆罗门教的经典中，专讲祭祀礼仪，其中包含毕达哥拉斯定理等数学知识．在以后的大约1000年中，缺少可靠的史料，数学的发展所知甚少．公元500年以后，印度数学获得了较大的发展，印度数学的成就在世界数学史上占有重要地位．许多数学知识由印度经阿拉伯国家传入欧洲，促进了欧洲中古时期数学的发展．由历史资料提供的情况断定，希腊和印度两国之间科学知识有一定的交流，但是每一个民族都按照自己的风格或习俗发展科学．希腊人和印度人发展数学的道路在许多方面都不相同．希腊数学遵循着严格的逻辑叙述，所以几何学获得了重大的发展．印度人则相反，不去求得严格的证明，而主要是发展实用的数学，因此算术、代数和三角具有优势．在5至16世纪，印度出现了许多著名的天文学家兼数学家和一批杰出的著作．这些著作都是用印度的宗教和官方语言梵文写的，就象伊斯兰国家中的阿拉伯语和中世纪西欧的拉丁语一样．印度数学著作的最大特点是叙述得过于简练，命题或定理的证明常被省略．运算法则的表述也极简短，又常常以诗歌形式出现，再加上浓厚的宗教色彩，致使这些著作更加晦涩难读．I，476 约550)．他是在印度首先运用代数方法的人．499年，他用 书》)．这部著作是印度历数书天文学的一次系统化，并概述了当时的数学知识．书中大部分讨论天文学和球面三角学，也介绍了算术、代数和平面三角中的若干法则．他还算出了 的近似值3．1416．瓦拉哈米希拉(Varāha－Mihira)是6世纪著名学者．他通晓哲学、天文学和数学，是《五大历数全书汇编》的作者．此书是希腊、埃及、罗马和印度天文学的一部提要，最重要的一部分是《太阳的知识》．(Sūrya Siddhānta)．其内容并不是有关太阳的知识，而是由太阳神传授的知识，具有神话色彩．另外还包括四部历数书．这部著作的计算图表是以希腊算法和亚历山大算法为基础推算的．婆罗摩笈多(Brahmagupta， 598 约665)是7世纪最著名的天文学家，在印度中部城市乌贾因工作．628年他写了一部《婆罗摩修正体系》(Brāhmasphutasiddhānta，西方又译《宇宙的开端》)．其中以诗的形式叙述了印度天文体系，有两章是讲数学的，包括等差级数，二次方程和各种有关面积、体积的几何定理的证明．他大量地把代数应用于天文学．千余年内印度最有成就的数学家是婆什迦罗 Ⅱ(Bhāskara，1114 1188)．他作为古代印度最重要的数学中心乌贾因天文台的领导人，是婆罗摩笈多的嫡系继承人．他所著《天文系统极致》(Sinddhāntaāsiromani，1150)可以认为是印度数学的最高成就．《天文系统极致》包括四部分，第一部分名为《丽罗娃提》(Lilāvati)，主要内容讲算术． 丽罗娃提 意为美女，对此有两种解释，一种认为婆什迦罗Ⅱ以此书献给其女儿，另一种则认为作者把数学本身比喻为美女．第二部分为《种籽计数论》，内容为代数学．其余部分是讲述天文学的．婆什迦罗Ⅱ继承了婆罗摩笈多和其他前辈的工作，填补了他们的许多缺漏．《丽罗娃提》共有13章．第1章给出几个计算表；第2章讲述整数和分数运算，包括计算平方根和立方根；第3章介绍解算术问题的各种方法(如单设法等)；第4章讨论来自希腊和中国的应用问题；第5章给出一些算术级数的求和法；第6 11章的内容是几何学，主要是面积和体积的计算和一些可以化为线性方程的实际问题；第12章讲述不定分析；第13章是组合学的内容．《种籽计数论》由8章组成，其内容是关于一次和二次代数方程的理论．他和婆罗摩笈多一样，也引用了大量的缩写符号．其第一章叙述正负数法则：第2 3章是一次和二次整系数不定方程的解法；第4章讲一元和多元线性方程组；第5章研究二次方程，并给出毕达哥拉斯定理的两个证明；第6章包含一些线性不定方程组的实例；第7 8章补充了二次不定方程的内容．婆什迦罗Ⅱ的《天文系统极致》在印度有很大的影响，他的嫡孙在13世纪创建了一个专门研究此书的学派，以后的400多年间有许多数学家对此书进行了注释．除了以上介绍的几位最著名的学者及其著作外，下文将要提到的数学家还有阿耶波多Ⅰ的主要继承人婆什迦罗Ⅰ(Bhāskara Ⅰ，629年在世)；9世纪在南印度迈索尔工作的马哈维拉(Mahāvira，约850)；著有《计算精华》(Ganita－Sāra－sangraha)，内容十分丰富；活跃在9 10世纪的数学家有施里德哈勒(Srīdhara)和阿耶波多 Ⅱ(Aryabhata Ⅱ)；14 15世纪著名的数学家有纳拉亚讷(Nārāyana，约1356)和尼拉坎塔(Nīlakantna，约1444 1501之后)等等．1881年，在西北印度巴赫沙里附近出土了一部无名氏著的算术和代数手稿，其准确时间尚未确定，多数学者认为是6 8世纪的作品．我们称之为《巴赫沙里手稿》．其中论述了不定方程和不尽根逼近等问题．
