解放军文职招聘考试埃及数学的主要内容-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育
发布时间：2017-11-22 18:18:50埃及数学的主要内容根据埃及纸草书的记载，古埃及人对算术、代数、几何等数学知识已经有了初步认识，并能做简单地应用．现简要介绍如下：一、算术古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制，但是不知道位值制．古埃及人是用象形文字来表示数的，例如根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示107以前数．由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数 个位数 、 十位数 、 百位数 的个数．但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简便．乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加．例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着12 12的计算方法，是从右往左读的．右边用现代数字表示，这就是倍增法(duplatio)．由下表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么12 12为12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(现代阿拉伯数字在左侧)标记斜线，算得结果144．在更早的时期，埃及人也曾采用 减半法 来计算乘法．首先是将一乘数扩大10倍，然后再计算10倍的一半．例如纸草书(卡芬版)第6页，计算16 16，是按如下方法计算的，即减半法(mediatio)．/1 16/10 160/5 80合计 256这种乘法的计算方法是古代人计算技能的基础，是非常古老的方法．希腊时期的学校曾讲授过埃及人的计算方法，到了中世纪，还讲授 倍增法 和 减半法 ．除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中．例如，计算1120 80(见兰德纸草书第69页)．1 80/10 8002 160/4 320合计 1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80．分数：古埃及人对分数的记法和计算都比现在复杂得多．例如，他分叫做 第三部分 ．例如，这样，通过二个部分与第三部分；三个部分与第四部分的结合来表示出一个整体．现在的西欧，有时也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等语言来表达三分之一、四分之一这类分数的含义．按此规律理解，五分之一可认为与四个部分结合成一个整体的第五部分．从语言的角度，五分之二(twofifths)就无法表达了．随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用 单位分数 (分子是1的分数)来表示分数：对一般分数则拆成 单位分数 表示①．例如，(用现代符号表示)
解放军文职招聘考试刘徽的数学成就-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育
发布时间：2017-11-22 19:20:28刘徽的数学成就一、刘徽生平刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为 布衣 数学家．刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说： 徽幼习《九章》，长再详览．观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注． 刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模．二、《九章算术注》此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．1．算术(1)十进分数刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值．这种记数法与现代刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为 微数 ，说： 微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细． 这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即其中a1，a2， ，an是0至9之间的一位整数．(2)齐同术《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善．他说： 凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同． 又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即 一乘一除，适足相消，故所分犹存 法实俱长，意亦等也 ．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出， 同 即一组分数的公分母， 齐 是由 同 而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．2．代数(1)对正负数的认识《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义： 今两算得失相反，要令正负以名之． 就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义： 言负者未必负于少，言正者未必正于多． 即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．(2)对线性方程组解法的改进《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组刘徽是这样解的：(1) 2，(2) 5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元， 以小推大，虽四、五行不异也． 他还进一步指出， 相消 时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．(3)方程理论的初步总结刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓 程 是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而 方程 则相当于现在的方程组．他说： 二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程． 这就是说： 有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程． 这里的 物 ，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的 皆如物数程之 是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则 行之左右无所同存 ，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即 举率以言之 ．对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条： 令每行为率 ，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解； 每一行中，虽复赤黑异算，无伤 ，即方程各项同时变号，不改变方程组的解； 举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．3．几何(1)割圆术刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．他利用公式(ln为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4．14)：TR＝OR-OT，后，便根据S192＜S＜S192＋(S192－S96)刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到 ＝3．14、 这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．(2)几何定理的证明刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形面积公式时，思路如下：把三角形的高h二自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂． 可惜的是原图失传，所以不知刘徽怎样 出入相补 ．刘徽在研究立体几何时，发现 邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ．即 过对角面分割堑堵为一个阳马(图4 16中ABCDE)和一个鳖臑(图4 16中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一． 为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为 刘徽原理 ．在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积= ∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．(3)对球体积的研究刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)．于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名 牟合方盖 ．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体 体积，整个问题就迎刃而解了．刘徽没有成功，只好 以俟能言者 ．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础．4．刘徽的极限观念从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想．他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说： 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣． 就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓形内为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到 虽有所弃之数，不足言之也 的程度．刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题 谓以情推，不用筹算 ，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．
