解放军文职招聘考试朱世杰及元代数学-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育
发布时间：2017-11-22 19:29:09朱世杰及元代数学一、元初数学成就1．王恂的数学工作王恂(1235 1281)，元代数学家．字敬甫，唐县(今属河北)人．他 六岁就学，十三岁学九数，辄造其极 ．后从刘秉忠学，官至太史令．至元十七年(1280)与天文学家郭守敬(1231 1316)等共同编成《授时历》，其中的数学工作主要是王恂作的．唐代张遂制订历法时，假定太阳作匀加速运动，所以使用二次内插法．但实际上，太阳运行的加速度是不断变化的．在《授时历》中，王恂把太阳、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数，采用三次内插法来求函数值，收到更好效果．但确定天体位置需要使用赤道坐标和黄道坐标，王恂之前是直接通过天文观测来确定这两种坐标的．王恂首先注意到两种坐标的数学关系，提出如下问题：已知太阳的 黄道积度 ，求 赤道积度 和 赤道内外度 ．如图8．16，设A为春分点，D为夏至点，其中d为直径，BN OC，CP OE．只要测得黄道坐标，便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标，从而使人们经过较少的实测，得到较多的结果．2．赵友钦的割圆术赵友钦，元代天文学家、数学家．字子公，号缘督先生，鄱阳(今江西鄱阳)人，生卒年不详．所著《革象新书》是一部天文数学著作．作圆内接正方形，然后不断倍增边数，依次求得各内接正多边形边长(图8．17)． 置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也．周率近似值中最准确的一个．赵友钦说： 自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密．若节节求之，虽至千万次，其数终不穷． 可见他不仅认识到圆内接正多边形的极限位置是圆，而且认识到极限是一个不可穷尽的过程，这种思想与现代极限观念相当接近．赵友钦还进一步揭示了方、圆关系，说： 要之方为数之始，圆为数之终．圆始于方，方终于圆． 这种 曲直互通 的思想是很深刻的，他已认识到方可转化为圆，而转化的条件便是取极限．二、朱世杰生平朱世杰，元代数学家．字汉卿，号松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不详．元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地二十余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时 踵门而学者云集 ．朱世杰全面继承前人的数学成果，他吸收了高次方程的数值解法，又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等，在此基础上进行了创造性研究，写成以总结和普及当时各方面数学知识为宗旨的《算学启蒙》(三卷)和四元术的代表作《四元玉鉴》(三卷)，先后于1299年和1303年刊印．朱世杰是元代最杰出的数学家，清罗士琳(1774 1853)说他 兼包众有，充类尽量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上． 《四元玉鉴》的成书则标志着宋元数学达到最高峰．美国科学史家萨顿(G．Sarton)称赞该书 是中国数学著作中最重要的一部，也是中世纪的杰出数学著作之一．三、《算学启蒙》《算学启蒙》的内容由浅入深，次第谨严，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果 天元术，形成一个完整体系，内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首 总括 中给出一整套数学概念及运算法则，作为全书的理论基础．其中包括正负数乘法法则及倒数概念．朱世杰明确指出： 同名(号)相乘为正，异名相乘为负． 又指出： 平除长为小长，长除平为小平． 小长平相乘得一步为小积． 这便给出倒数的基本性质在《算学启蒙》中，朱世杰借助辅助未知数解线性方程组，这在数学史上还是首次．例如卷下 方程正负门 第五题，依术列方程组如下(改用现代符号)：这种方法对于简化运算程序是很有意义的，系数越复杂，设辅助未知数的方法就越有用．另外，书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题，导出许多高次方程，这说明天元术在李冶的基础上有了进一步的发展．朱世杰还致力于算法研究，给出一些新的公式，如 开方释锁门 给出根式运算法则其中n，a，b为自然数，n 2．《算学启蒙》为《四元玉鉴》提供了必要的预备知识，正如罗士琳所说，该书 似浅实深 ，与《四元玉鉴》 相为表里 ．四、《四元玉鉴》《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法．在他之前，已有李德载《两仪群英集臻》讨论二元术，刘大鉴《乾坤括囊》讨论三元术．在此基础上，朱世杰 演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元 (《四元玉鉴》后序)，创立了举世闻名的四元术．朱世杰的天、地、人、物，相当于现在的x，y，z，u，其摆法如图8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下 三才变通 第1题)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下 四象朝元 第6题)分别摆成图8.19和图8.20的形状．《四元玉鉴》共24门288问，所有问题都与方程或方程组有关．题目顺序大体是先方程后方程组，先线性方程组后高次方程组．朱世杰创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(E.Bezoub,1730 1783)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰．但朱世杰的消法要点仅见于书首 假令四草 ，其他各题均无草．书首还列有 今古开方会要之图 、 四元自乘演段之图 、 五和自乘演段之图 和 五较自乘演段之图 ，这些图的作用也是统御全书．朱世杰说： 凡习四元者，以明理为务．必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也． 卷首各图便是为 明理 而作，他说： 夫算中玄妙，无过演段．如积幽微，莫越认图．其法奥妙，学者鲜能造其微．前明五和，次辨五较，自知优劣也．《四元玉鉴》表明，朱世杰在方程领域取得重要成就．以前的方程都是有理方程，朱世杰则突破有理式的限制，开始讨论无理方程．他不化为有理方程(见 左右逢源 第21题， 拨换截田 第18题， 四象朝元 第1题)．四元消法是朱世杰方程理论的核心．他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉未知数，化四元式为一元式，即一元高次方程．三元式和四元式的消法称为 剔而消之 ，即把全式剔分为二，进行相消．二元式的消法称为 互隐通分相消 ．下面以二元三行式为例说明其消法．其中各系数是关于另一个未知数的多项式(可以是常数)．欲消x2项，先以B2乘(1)式中x2项以外各项，再以A2乘(2)式中x2项以外各项，相减，得C1x＋C0＝0． (3)以x乘(3)，得C1x2＋C0x=0． (4)将(4)与(1)或(2)联立，用同样方法消去x2项，得D1x+D0＝0． (5)(3)与(5)联立，便为二元二行式．朱世杰称C1，D0为外二行，C0，D1为内二行．内二行乘积与外二行乘积相减，得C1D0-C0D1＝0．这便消去x，得到只含另一个未知数的一元方程了．《四元玉鉴》含二元问题36个，三元问题13个，四元问题7个．虽然用到四元术的题目不多，但它们却代表了全书，也代表了当时世界范围内方程组理论的最高水平． 四象朝元 第6题所导出的十四次方程是中国古算史上次数最高的方程．高阶等差级数理论是书中另一成就．沈括的隙积术开了研究高阶等差级数的先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式．朱世杰在这一领域作了总结性工作．在中卷 茭草形段 和下卷 果垛叠藏 中，他依次研究了一阶至五阶等差级数求和问题，不仅给出相应的公式，而且发现其规律，掌握了如下的三角垛统一公式从而奠定了垛积术的理论基础．实际上，等差级数是几阶的，便可把上式中的p换为几．朱世杰给出了p＝1，2， ，5的特例．他还发现垛积术与内插法的内在联系，在 如象招数 第5题中利用垛积术导出四次内插公式(四次差为一非零常数，五次差为零)：其中 1， 2， 3， 4分别为一次差、二次差、三次差、四次差．由于朱世杰正确指出了公式中各项系数恰好是一系列三角垛的积，他显然能够解决更高次的内插问题，从而把中国古代的内插法推向一个新水平．在几何方面，朱世杰也有一定的贡献．自《九章算术》以来，中国就有了平面几何与立体几何，但一直到北宋，几何研究离不开勾股和面积、体积．李冶开始注意到圆城图式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形．朱世杰在李冶思想的基础上，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了平面几何中的射影定理和特殊情形的弦幂定理．例如卷上 混积问元 第七题，如图8．21，朱世杰得到公式易证等号左面等于h2，所以此式与射影定理h2＝ef等价．再如卷中 拨换截田 第十四题，如图8．22，AB CD于E，朱世杰给出公式4CE ED＝AB2此式显然是弦幂定理CE ED＝AE EB在两弦垂直且有一弦为直径时的特殊情形．五、宋元数学的外传及衰落《算学启蒙》出版后不久即传到朝鲜和日本．在朝鲜李朝时期(14 16世纪)，《算学启蒙》及《杨辉算法》都被作为朝廷选拔算官的基本书籍．两书的朝鲜庆州府刻本(15世纪)一直保存至今．由于《算学启蒙》在明代失传，清罗士琳幸得朝鲜金始振翻刻本(1660)，于1839年在扬州重新出版，成为中国现存各版本的母本．《算学启蒙》对日本的影响也很大，不少日本学者在研究此书的基础上写出专著，比较著名的有星野实宣《新编算学启蒙注解》三卷(1672)、建部贤弘《算学启蒙谚解大全》七卷(1690)等．宋元数学还曾传到阿拉伯．13世纪旭烈兀①西征时，带走了一批中国天文学家和数学家．他征服波斯后支持纳西尔丁(Na－sirad－Din，1201 1274)在马拉盖(Maraghen，今伊朗境内)建立了一座规模宏大的天文台，并把带去的中国学者留在天文台和纳西尔丁一起工作，这是中国数学传入阿拉伯国家的一个途径．阿拉伯数学家卡西(al－kāshī，？ 1429)的《算术之钥》(The Key of Arithmetic，1427)中有不少内容与中国数学相同，如贾宪三角形、增乘开方法，以及和 百鸡问题 极为类似的 百禽问题 等．他受到中国数学影响是可以肯定的，当然不排除其独立取得成果的可能性．在元代，阿拉伯数码曾传入中国，但并未被中国人接受．欧几里得《几何原本》也传到上都(今内蒙古正蓝旗)，可惜没有译成中文，所以影响不大，不久便散失了．朱世杰之后，元代数学便开始走下坡路．明代数学理论水平远不及宋元，天元术、四元术成为绝学．直到明末清初，由于西方数学的传入及中国学者的努力，数学才有所回升．那么，宋元数学衰落的原因是什么呢？首先，中国传统数学是依靠算筹的，虽然这是一种很有用的计算工具，但具有不可避免的局限性，因为它只适于计算而不适于证明，只能表示具体的量而不能表示抽象的量．这就限制了人们的抽象思维，限制了数学一般化程度的提高．宋元方程理论可以由天元术发展为四元术，但在筹算体系内却无法建立五元术或n元术，因为四个未知数已把 太 的上下左右占满．这个例子便说明了算筹的局限性．更重要的是，人们无法利用算筹进行逻辑推理，也很难在筹算体系内发展数学符号．但这些消极因素的总和，充其量是使数学停滞不前．而事实上，元末数学不仅没前进，反而后退．造成这种状况的原因就不在数学内部，而在于社会了．当时的政策是不利于科学发展的，尤其是八股取士制．1314年恢复科举考试后，内容以朱熹集注的《四书》为主，将数学内容完全取消．不久，这种考试发展为 以四书五经命题、八股文取士 的制度，引导知识分子远离自然科学，严重束缚了读书人的思想．知识分子们为了功名，纷纷埋头于《四书五经》，只会在儒家经典中寻章摘句，奢谈三纲五常之类的封建伦理，哪里还顾得上数学及其他有实用价值的科学技术呢？正如元末丁巨所说： 时尚浮辞，动言大纲 士类以科举故，未暇笃实． 八股取士制的危害，在明代愈演愈烈，顾炎武曾痛斥说： 开科取士，则天下之人日愚一日． 元末以后的社会思潮也不利于数学发展，成为官方哲学的理学完全摒弃了自然科学．理学家们大谈天理、人伦，认为科学技术乃雕虫小技，为君子所不齿，甚至讥笑研究数学的人是 玩物丧志 ．在这种社会环境中，数学由盛而衰就不奇怪了．
解放军文职招聘考试斐波那契和十三世纪数学-解放军文职人员招聘-军队文职考试-红师教育
发布时间：2017-11-22 19:26:49斐波那契和十三世纪数学经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展．在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心．特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算．这时的欧洲出现了第一批理论数学家．意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家 斐波那契．斐波那契(L．Fibonacci，约1170---1240以后)，又称比萨的莱昂那多(LeonardoofPisa)．他是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从 阿拉伯教师学习计算．后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系．经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度 阿拉伯数系相媲美．斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成《算盘书》(LiberAbb-aci，1202年初版，1228年修订本)．这是向西欧介绍印度 阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作．这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题．因此，书名中 算盘 一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为 算术 或由印度 阿拉伯数系而产生的 算法 ．斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题．在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范．下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容．《算盘书》共有15章．第1---5章介绍印度 阿拉伯数码记数法及其四则运算．他首先给出9个印度数码的写法及符号0的用途，以及如何记数．他还举例说明这种记数法的优越性．介绍了整数的四则运算及乘、除法的验算法，讨论如何把一个自然数分解为质数的乘积，以及能被2，3，5，9整除的数的特点，给出了大量的数表(乘法表、质数表等)．第6，7章介绍分数记法及其运算，混合分数(带分数)的记法按阿拉伯人的方式 分数部分写在整数部分的左边．作者指出用求最小公倍数的方法通分的优越性，阐述了把一个分数展开为几个单分子分数之和的方法，并列出有关的数表．第8---11章讨论商业上实用的各种算术问题的解法．包括商品价格、利润和利息的计算、金属合金的成色、混合物的比例、商品交换、货币转换及各种度量问题等．三位法的使用很普遍，还有较复杂的五位法(或称六个量法则)，即解两个三位法的问题．在第11章讨论的混合问题中出现了类似于中国古代数学家所熟悉的 百鸡问题 ，不过问题被改为 三十钱买三十只鸟 ： 今有30只鸟值30个钱币，其中，每只山鹑值3个钱，每只鸽子值2个钱，一对麻雀值一个钱，问每种鸟各多少？ 9世纪阿拉伯数学家阿布卡米尔(Abū－Kamil)的数学著作中曾出现过 百鸡问题 ，一般认为是由印度传入的．有资料表明，斐波那契接触过阿布卡米尔的著作，因此中国数学史家推测，这类问题是由中国经印度、阿拉伯国家而传入欧洲的．第12章的内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法：算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等．几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册．问题的答案由下列和式给出：1＋1＋2＋3＋5＋8＋ ＋233．其中从第三项起，每一项都是前两项的和．这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象．在12章中，有大量的问题可以化归为解一次方程．斐波那契称未知数为res，即一堆东西，没有引进代数符号．值得指出的是，在第12章，还有两个问题也是由中国辗转传到欧洲去的：一、求一数，它能被7整除，而被2，3，4，5，6除时均余1；二、求一数，它被3，5，7除时分别余2，3，2．第13章是用双设法解线性方程，讨论了几种情况，计算过程用图表给出．这里还最早用单词minus和Plus表示不足和过剩，后来这两个词变成表示加法和减法的符号．第14章介绍平方根和立方根的近似计算，立方根的计算相当于使用下列公式第15章是问题汇编，包括大量的几何和代数应用问题，许多内容取自花拉子米的《代数学》．除了未知数用res表示以外，在《算盘书》中，还采用了其他的术语，如根 radix，未知数的平方 census，根的平方 quadratus，自由项 numeres或denarins等．这些用语都是阿拉伯文中相应单词的拉丁文译文．《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12---14世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响．除了《算盘书》外，斐波那契还有三部著作传世：《实用几何》(Practica geometriae，1220)、《花絮》(Flos，1225)《平方数书》(Liber quadratorum，1225)．在《实用几何》中处理了大量的几何学和三角学的题材，共有8章．内容包括面积和体积的计算、平方根和立方根的近似计算，曲面的剖分，物体的测量以及关于圆的各种计算．应用了二次方程的求解，投影方法和几何图形的相似性等方法．在当时是一种很实用的小册子．《花絮》记载的是在罗马皇帝腓特烈二世(FriedrichⅡ)的宫廷中举行数学竞赛时提出的问题．内容多是求代数方程的解，如解方程x2＋5＝y2，x2－5＝z2及x3+2x2＋10x=20等，他用逼近法给出第三个方程的近似解x＝1.3688081075，精确到小数点后9位．《平方数书》是一部专门讨论二次丢番图方程的著作，其中有许多是他本人的发现．书中系统地编排了各类问题，如详细讨论了上面提到的方程x2＋5＝y2，x2-5＝z2，给出了一系列重要结果及与此相关的命题，如 x2+y2和x2-y2不可能同是平方数 ， x4－y4不可能是平方数 等．这部著作使斐波那契成为数论中介于丢番图(Diophantus，活动于250---275)和费马(P．deFermat 1601---1665)之间贡献最大的人物．在13世纪以前，欧洲的记数法比较混乱，计算方法也十分复杂、笨拙．印度-阿拉伯数码及其计数法传入欧洲之后，使算术的面貌大为改观．但新计数法代替旧的计数法是一个漫长的过程．在斐波那契之后，又出现了一批介绍印度 阿拉伯算术的著作．在英国，有萨克罗博斯科 (J．de Sacrobosco，？ 1256)的《算法书》(Algorismus)；东罗马有普莱纽迪斯(M．Planudes，约1255---1305)的《印度算术》(Psephophoria Kat Indous)；在法国有维尔迪厄(A．de Villedieu，？ 约1240)的《算法歌》(Carmen de algorismo)；在德国有约丹努斯(N．deJordanus，约1220)的《算法论证》(Algorismus Demons-tratus)等．这些著作大多用拉丁文所著，后又从拉丁文译成多种文字，通行了几个世纪，对新记数法的引入和计算方法的改进起到重要作用．
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发布时间：2017-11-22 19:37:00英雄时代 十八世纪的数学17世纪最伟大的数学成就是微积分，18世纪的大部分数学工作则是多方面利用微积分方法所进行的新的创造．产生了现在仍在研究的许多数学新领域：微分方程、微分几何、变分法，等等．18世纪数学研究的特点是，取得的成果相当丰富，涉猎的领域十分广泛，但其中有些内容却经不起严格的推敲．18世纪的卓越数学家主要有英伦三岛的泰勒(B．Taylor，1685 1731)、马克劳林(C．Maclaurin，1698 1746)；欧洲大陆有瑞士的贝努利(Bernoulli)家族，以及18世纪数学界的中心人物、在数学史上与阿基米德(Archimedes)、牛顿(I．Newton)、高斯(F．Gauss，1777 1855)一起被称为 四个最伟大的数学家 的瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707 1783)．随着牛顿的去世，以及牛顿与莱布尼茨(G．W．Leibniz)关于微积分优先权之争日趋激烈，英伦三岛数学界固守牛顿的流数方法，拒不接受欧洲大陆的数学思想，英伦三岛在牛顿尤其是在马克劳林之后，数学发展相对比较缓慢．继贝努利家族和欧拉之后，主宰18世纪的数学是法国数学家，他们中有棣莫弗(A．DeMoivre，1667 1754)、克莱罗(A．C．Clairaut，1713 1765)达朗贝尔(D Alembert，1717 1783)、兰伯特(J．H．La-mbert，1728 1777)著名的 三L ：拉格朗日(J．L．La－grange，1736 1813)、拉普拉斯(P．S．Laplace，1749 1827)、勒让德(A．M．Legendre，1752 1833)，以及蒙日(G．Monge，1746 1818)和卡诺(L．Carnot，1753 1823)．法国一直到19世纪上半叶仍是世界数学中心．18世纪数学工作的推动力是解决物理 自然科学的问题，工作的目标不是数学，而是解决物理问题．法国百科全书学派的狄德罗(D．Dideret，1713 1784)和达朗贝尔明确地把数学看作是自然科学的一个分支，这样数学在历史上第一次从属于自然科学，而且这种观点到今天仍有影响．这个世纪的数学家几乎无一例外地都从事于科学、工业技术、军事问题的研究，并且其认真程度丝毫不亚于研究数学．同时，数学家还逐渐抛弃了宇宙是上帝按照数学定律设计的信念，机械决定论开始占据人们的心灵，而这一切都得益于数学的巨大成就．18世纪可以说是数学史上的英雄时代．第一节 数学分析一、微积分18世纪数学的核心是以微积分为主的数学分析，这一世纪的中心人物是欧拉．牛顿、莱布尼茨创造了微积分，而欧拉则使这一数学领域充满了光辉灿烂的景色．拉普拉斯(P．S．Laplace)的话道出了当时的状况： 读读欧拉，读读欧拉(指其著作)，他是我们大家的老师． 这一评价甚至在今天也不过分．欧拉于1707年4月15日诞生于瑞士巴塞尔．小时由父亲任启蒙教师，12岁入当地中学，16岁毕业后遵从父愿，入巴塞尔大学神学系学习．在神学课程之余，他被约翰 贝努利(JohannBernoulli)的数学讲座深深吸引了，在贝努利兄弟的影响下，数学逐渐挤走了神学，占据了他的学习日程表，而且贝努利也开始对他刮目相看，热情地指点他．欧拉回忆约翰 贝努利时曾深情地说，贝努利让他每星期六下午到晚上自由地去他的住处，他让欧拉每解决一个问题，欧拉就能很顺利地解决10个问题．的确，在贝努利兄弟的指导下，欧拉已经具备了优秀数学家的素质，并开始从事数学研究．18岁时他就发表了数学论文．1726年，年仅19岁的欧拉由于在船的立桅方面的研究论文而获得巴黎科学院的奖金，从而在欧洲数学界崭露头角．这一年他正好大学毕业．在瑞士，年轻的欧拉未能获得自己所谋求的职位，恰巧这时约翰 贝努利在俄国彼得堡科学院任教授的儿子尼古拉 贝努利(Nicolaus Bernoulli)和丹尼尔 贝努利(Daniel Bernoulli)来信说，俄国欢迎欧拉．1727年5月17日欧拉来到彼得堡科学院任丹尼尔 贝努利的副手，1731年被任命为副教授，1733年他接替丹尼尔 贝努利担任彼得堡科学院的数学教授．他为俄国的数学发展、科学进步做了大量的工作，他的许多成果出现在彼得堡科学院的刊物上，帮助俄国政府解决了大量的物理学、工程学方面的难题．过度的案头工作使得这位数学大师得了眼病，不幸于1735年右眼失明，这一年他还只有28岁．1741年，欧拉应腓特烈大帝之邀担任柏林科学院物理数学研究所所长．除此之外，他还在宫廷为公主们讲授数学、物理、天文、哲学乃至宗教方面课程．讲述的内容曾以《给一位德国公主的信》，(Letters to a German Princess)发表，是一部风趣、文笔优雅的科普作品．他为普鲁士研究了保险、河运等方面的一系列问题．1766年，俄国沙皇诚挚的邀请终于使欧拉又回到了彼得堡科学院．实际上，他时刻也没忘记俄国．在1741 1766年的25年时间里，身在柏林的欧拉，却仍为彼得堡科学院写了上百篇论文，时刻关注着俄国的事务．的确，俄国、彼得堡科学院是他的第二故乡，是他施展聪明才智的地方．俄国人民也深深地热爱他，以致于俄国数学史家差不多总是将欧拉当作俄国数学家、俄国数学的创始人和彼得堡数学学派的奠基人．回到俄国后不久，严寒的气候对欧拉微弱的视力如雪上加霜，很快左眼视力衰退，最后于1766年底双目失明．这对于一位以案头工作为主的数学家的打击可想而知．此时他已59岁，年近花甲．然而，在他生命的最后17年，尽管双目失明，在全盲中他的成果却丝毫不减往年．1771年，圣彼得堡突起大火，殃及他的住宅，双目失明而又身染疾病的欧拉被围困在大火中．虽然一位工人冒着生命危险将这位大师从大火中抢救了出来，然而他的书库、大量研究成果却全部化为灰烬．沉重的打击，并没有使天性乐观的欧拉屈服，而是更加勤奋的工作．他以惊人的毅力与黑暗作斗争，以超常的记忆力和心算从事数学研究．人们发现，对不少有才能的数学家在纸上做起来也很困难的数学证明与计算，他却能心算出来！在数学史上，欧拉与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为四位最伟大的数学家．而欧拉又是数学史上成果最多、数学著作最多的数学家．研究的数学领域遍历微积分、微分方程、解析几何与微分几何、数论、级数与变分法，他还是卓越的理论物理学家，通过将数学应用到整个物理学领域，创立了分析力学及刚体力学学科．他写了数学分析、解析几何与微分几何、代数、变分法、力学方面的许多课本，并且在百余年的时间里被用作标准教材．除课本外，从20岁开始，他以每年约800页左右的速度发表高质量的研究性论文，论文所获得的奖金成了他的生活收入主要来源．双目失明后，他还写了好几本书和400余篇研究论文．欧拉全集达厚厚的74卷．今天，我们几乎可以在数学的任何分支中看到欧拉的名字：初等几何中的欧拉线，立体几何中的欧拉定理，解析几何中的欧拉变换，方程中的欧拉解法，微积分中的欧拉积分，数论中的欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论中的欧拉常数，以及欧拉线、众多的欧拉方程、欧拉公式 ，令人目不暇接．然而，欧拉并不像牛顿、莱布尼茨那样终身一人．大量的数学、科学创造并未牺牲他所有的天伦之乐．他是一位称职的丈夫，13个孩子喜爱的父亲．与妻子一同安排家务，给孩子们做科学游戏，一起念诵《圣经》，在黄昏的林荫道上留下了幸福家庭的串串脚印．欧拉爱好思考哲学问题，曾数次与启蒙思想家伏尔泰(F．M．A．Voltaire)切磋，甚至欣赏伏尔泰对他的哲学观点的尖锐批评．可见其生性是多么豁达乐观．1783年9月18日傍晚，为庆祝计算气球上升定律的成功，他请朋友们吃饭，席间他兴致勃勃地讲述了计算要领，然后喝茶、逗孙子玩，突然疾病发作，烟斗落地，口中喃喃： 我死了． 于是 他停止了计算，也停止了生命 ．在欧拉的时代，随着微积分的发展，函数概念显得越来越重要了．18世纪时占主导地位的函数概念是，函数是由一个解析表达式(有限或无限)给出的．今天我们熟知的各种初等函数，大都得益于欧拉的系统总结．1748年，他写下了两卷本《无穷小分析引论》(Introduction Analysin Infinitorum)，首先，将函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．随后系统地研究了各种函数．在三角函数方面，他一方面使sinx，cosx，tgx等彻底摆脱了直角三角形的局限，使之成为一般意义上的函数；同时弄清了三角函数的周期性，并且引入了弧度概念．他区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．不仅如此，他还在意识到超越数的基础上，引入了超越函数，认为三角函数、对数函数、指数函数及某些特殊函数是超越函数，这些函数的特征是不能通过对某个表达式作代数运算得到．实际上，代数函数、超越函数的提出表明欧拉已经定义了多元函数f(x，y， )，其中二元函数f(x，y)、三元函数f(x ，y，z)在当时是最重要的．(其中，P(x)为x的有理函数，R(x)则为四次多项式)．分进行更一般的研究乃至建立椭圆函数论则是19世纪的事情了．今天已经遍及数学、物理的许多部门的两个非常重要的非初等函数 (Gamma)函数、 (Beta)函数，也是18世纪引入的．这两个函数都是欧拉创造的，最初是因为求解常微分方程的需要，随后哥德巴赫(C．Goldbach，1690 1764)考虑插值问题时就这个问题求教欧拉，于是欧拉在1729年10月13日写给哥德巴赫的信中解决了这个问题，并在1730年1月8日第二封信中引入了积分问题了 (n＋1)＝n (n)．明显地 (1)=1．于是对任何正整数n都有 (n＋1)＝n (n)＝n (n-1) 2 1 (1)在1830年1月8日给哥德巴赫的信中，欧拉还提出了今天的 函数不过欧拉在1771年已经发现了 函数与 -函数的重要关系：B(p，拉第二型积分，这一名称一直沿用到今天．勒让得还得到了下述结果：普通导数与偏导数的区别开始并不被人们重视，许多人对两者都用同样的记号，但莱布尼茨却察觉了这一点，1694年他曾用 m 表示 64年才出版的著作中，封田(A．Fonta－ine)对于x，y，z，u等变量的函数 ，给出了公式格朗日等人的改进，逐渐演变成了今天的偏导数符号．克莱罗在偏导数方面的主要贡献是得到了dz＝pdx＋qdy是全微分的条件，其中p，q是x，y的函数， 全微分 是由封田提出的，系克雷罗得到了这样的结果：pdx+qdy是全微分(即 方程的研究极为有用，它是积分因子法的理论基础．拉对由弧围成的有界区域上的二重定积分已经有了比较清楚的概念，并给出了用累次积分计算这种积分的程序，但对 f(x，y)dxdy的次序交换问题仍比较模糊．由于探讨引力、多体力学问题，拉格朗日、拉普拉斯、勒让德开始了三重积分研究．拉格朗日用三重积分表示引力．值得注意的是，积分变换在三重积分中发挥了重要的作用．1773年，拉格朗日在他关于旋转椭球引力的研究中，发现用直角坐标计算很困难，于是转用球坐标，他引入积分变换的实质是用r2sin d ddr代替dxdydz，于是他开始了多重积分变换的课题，1772年拉普拉斯也给出了球坐标变换．从此， 变换 在数学中逐渐为人们重视，18世纪的变换主要集中在两个方面，一个是坐标变换，这对于多重积分非常重要，另一是微分方程中的变换，其中最著名的是拉普拉斯变换．
